5.7. ПРИЁМ СИГНАЛОВ С НЕОПРЕДЕЛЁННОЙ ФАЗОЙ (НЕКОГЕРЕНТНЫЙ ПРИЁМ)

Как показано в § 4.4, многие каналы можно описать моделью (4.43) с флуктуирующей фазой. Естественно, если фаза (или какой-либо другой параметр, определяющий априорную информацию, требуемую для когерентного приёма) принимаемого сигнала флуктуирует настолько медленно, что путём измерения (оценивания) её можно достаточно надёжно предсказать, оптимальный приём в основном реализуется так же, как при точно известном сигнале (с добавлением блоков оценивания). Такая ситуация характерна для многих канатов проводной и реже радиосвязи. Однако нередко фаза флуктуирует довольно быстро, и точную её оценку получить не удаётся. Кроме того, оценка фазы требует иногда применения сложных устройств. Поэтому даже в тех случаях, когда принципиально можно оценить начальную фазу приходящего сигнала, порой от этого отказываются и используют алгоритм, построенный в предположении, что начальная фаза приходящего сигнала не известна и может принимать любое значение на интервале . Такой метод приёма называется некогерентным. Алгоритм оптимального некогерентного приёма впервые получен Л.М. Финком.

Для вывода правила оптимального некогерентного приёма будем исходить из логарифма отношения правдоподобия для сигнала которое при точно известной начальной фазе выражается формулой (5.23). Используя представление для сигнала (4.44), где у — известный коэффициент передачи канала, случайный сдвиг в канале, формулу для можно (после устремления в (5.23) записать так:

Здесь является случайной величиной, принимающей различные значения при различных . Правило максимума правдоподобия в такой ситуации заключается в выборе такого решения, для которого математическое ожидание будет наибольшим. Такое правило оценки символа если сдвиг фазы В равномерно распределён на интервале кратко записывается так:

где при плотность распределения вероятности .

При нахождении заметим, что второй интеграл в правой части (5.67) от 6 не зависит и равен энергии сигнала на входе канала (на передатчике).

Это ясно из того, что подынтегральной функцией является квадрат сигнала сдвинутого по фазе на 6, что, как известно, не влияет на его энергию. Таким образом, учитывая, что получаем

где введено обозначение

Обозначив

можно записать

где модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

Вместо того чтобы сравнивать отношения правдоподобия, можно сравнить их логарифмы, что приводит к следующему правилу (алгоритму):

Для двоичной системы сигналов правило оптимального некогерентного приёма выражается неравенством

При выполнении этого неравенства регистрируется 1, в противном случае .

Величины можно получить в момент отсчёта на выходе активного фильтра с опорными сигналами, равными соответственно . С учётом сказанного понятно построение на основе активных фильтров схемы, называемой квадратурной и реализующей алгоритм (5.71) (рис. 5.15). Здесь соответственно генераторы опорных сигналов фазовращатель всех сигнальных компонент на (преобразователь Гильберта); БОМ - блок определения модуля вектора по ортогональным компонентам; нелинейные безынерционные устройства с характеристикой

Подчеркнём, что величины не зависят от начальной фазы сигналов как видно из (5.68), пропорциональны огибающей (в моменты отсчёта, кратные 7) на выходе фильтра, согласованного с сигналом Таким

Рис. 5.15. (см. скан) Квадратурная схема реализации оптимального приёма дискретных сообщений при неопределённой фазе сигнала

образом, алгоритм (5.71) можно реализовать и на базе согласованных фильтров, как показано на рис. 5.16. Идеальный детектор выделяет огибающую напряжения на выходе согласованного фильтра.

Для двоичной системы с пассивной паузой, полагая, что символ 0 передаётся сигналом правило (5.70) можно записать в виде

где пороговый уровень

Рис. 5.16. Схема реализации оптимального приема дискретных сообщений на базе согласованных фильтров при неопределённой фазе сигнала

а функция обратна функции При выполнении неравенства (5.72) (превышение над порогом) регистрируется символ 1, в противном случае — символ 0.

Алгоритм (5.70) и соответственно его реализация существенно упрощаются для системы сигналов с равной энергией Для них с учётом монотонного характера функции алгоритм оптимального некогерентного приёма можно записать так:

Для двоичной системы правило (5.73) сводится к проверке одного неравенства

При его выполнении регистрируется 1, в противном случае — 0.

При реализации алгоритма (5.74) в схемах рис. 5.15 и 5.16 не нужны блоки и блоки вычитания. Более того, алгоритм при этом условии инвариантен относительно коэффициента передачи канала и спектральной плотности шума поскольку не зависит от , а с изменением у все значения изменяются пропорционально, что не влияет на (5.72). Именно это является основным преимуществом систем с равной энергией сигналов, определившим их широкое применение.

При выводе правила решения (5.70) предполагалось, что случайная начальная фаза распределена равномерно на интервале Однако в некоторых случаях распределение начальной фазы неравномерно, а ещё чаще это распределение при построении системы связи не известно. В этих условиях возможны два подхода: а) построение адаптивной квазикогерентной системы, в которой путём анализа принимаемого сигнала определяется приближённая оценка фазы, используемая вместо недостающих априорных сведений (априорной информации);

б) принятие решения в предположении, что начальная фаза представляет собой некоторый неизвестный параметр, который так же, как и передаваемый символ, можно оценить по максимуму правдоподобия. Второй подход называют приёмом по правилу обобщённого максимального правдоподобия. Мы его уже использовали в § 5.6.

Сущность этого правила в ситуации неизвестной фазы заключается в следующем; 6 рассматривается как сопровождающий (неинформационный) параметр. Отношение правдоподобия для сигнала при известном сдвиге фазы 6 в канале записано в формуле (5.66). Найдём для данного то значение сопровождающего параметра , которое обеспечивает максимум отношения правдоподобия его логарифма), а затем сравним полученные значения для всех и выберем из них наибольшее. Таким образом, приходим к правилу обобщённого максимального правдоподобия

Для отыскания максимума (5.66) по учтём, что, как уже говорилось, второй интеграл в показателе экспоненты от не зависит. Максимум же первого интеграла найдём обычным способом, продифференцировав его по параметру и приравняв производную нулю. Это приводит к уравнению где определены формулами (5.67). Решая это уравнение, получаем максимально правдоподобное значение откуда Подставив эти значения (конечно, различные для разных гипотез) в (5.66), после простых преобразований получим алгоритм приёма по правилу обобщённого максимального правдоподобия [27]:

Для систем с равной энергией сигналов это правило совпадает с (5.73), а для двоичных систем — с (5.74). В этом случае алгоритм, полученный при неизвестной фазе, оцениваемой по максимуму правдоподобия, совпадает с алгоритмом, полученным в предположении, что фаза распределена равномерно.

Заметим попутно, что одной из актуальных проблем теории связи является отыскание алгоритмов решения для демодулятора, применимых при недостаточной априорной информации о канале и об источнике сообщения, например об априорных вероятностях различных сигналов, о распределениях вероятностей амплитуд и фаз, о некоторых параметрах, входящих в описание сигнала, и т.д. В этом направлении сделано уже очень много. В частности, предложено много алгоритмов приёма дискретных сообщений, инвариантных к тем или иным неинформационным параметрам сигнала, а также целый ряд робастных алгоритмов, устойчивых к отклонениям характеристик сигналов и помех [25, 26]. Конечно, чем больше объём априорной информации, тем достовернее можно принимать сообщение, например, применяя когерентный приём. Однако если сама априорная информация ненадёжна, то, применяя алгоритм, учитывающий эту ненадёжную информацию, можно получить результат хуже, чем при использовании алгоритма, построенного в предположении отсутствия данной априорной информации.

Исследование вероятности ошибок в канале с неопределённой фазой и аддитивным гауссовским шумом при поэлементном приёме показало [27], что минимальную вероятность ошибки обеспечивает система сигналов с равной энергией, которая удовлетворяет условиям ортогональности в усиленном смысле:

Это можно объяснить тем, что при отсутствии шума и передаче сигнала удовлетворяющего условиям (5.75), правые части в алгоритме (5.73) принимают минимально возможные значения, равные нулю, в то время как (см. ниже формулы (5.76) и (5.77)). Если шум стационарный и гауссовский, то наиболее вероятны малые о лонения и , от указанных значений. А это означает, что для системы сигналов (5.75) неравенства (5.73) при передаче сигнала выполняются почти всегда, что приводит к минимизации вероятности ошибки.

Определим вероятность ошибки при приёме по алгоритму (5.74) двоичных сигналов, удовлетворяющих условиям (5.75). Если передаётся символ 1, то с учётом (5.21), (5.67) и (5.68) имеем

где

Рассуждая так же, как при выводе (5.46) и (5.46 а), легко убедиться, что величины распределены нормально с нулевым средним значением и дисперсией

Легко также показать, что коэффициенты корреляции и при системе сигналов, ортогональной в усиленном смысле, равны нулю.

Некоррелированность гауссовских величин обеспечивает и их независимость. Как следствие, случайные величины и независимы, причём в соответствии с (2.141) для имеем распределение Рэлея

в соответствии с (2.140) имеет обобщённое распределение Рэлея (Райса)

Вероятность Приёма символа 0 при передаче символа 1 определится вероятностью выполнения неравенства

В полученной формуле интеграл легко вычислить с помощью теории вероятностей. Если заменить переменную, положив то окажется, что это интеграл от плотности вероятностей случайной величины имеющей обобщённое распределение Рэлея, с параметрами Так как интеграл берется по всей области определения А, то он равен 1. Окончательно

где, как и раньше, отношение энергии элемента принимаемого сигнала к спектральной плотности мощности шума. Из соображений симметрии ясно, что такова же будет вероятность приёма символа 1 при передаче 0. Поэтому вероятность ошибки не зависит от передаваемого символа. Она одинакова для всех двоичных систем, ортогональных в усиленном смысле (при одинаковых энергиях сигнала), и определяется (5.82). В частности, эта формула справедлива для систем: ЧМ, систем с временной манипуляцией и любых других, для которых выполняется (5.75).

На рис. 5.17 показана зависимость согласно (5.82) (кривая 2). Там же для сравнения приведена кривая, характеризующая потенциальную помехоустойчивость той же системы при когерентном приёме и определяемая (5.55) (кривая 1). Величина для удобства выражена в децибелах, а вероятности ошибок отложены в логарифмическом масштабе.

Сравнение кривых показывает, что для рассматриваемой системы сигналов (ортогональной в усиленном смысле с равной энергией) априорное знание фазы и когерентный приём дают лишь очень небольшой энергетический выигрыш по сравнению со случаем некогерентного приёма. Этот выигрыш тем меньше, чем ниже допустимая вероятность ошибки.

Систему ФМ так же, как и другие системы с противоположными сигналами, отличающимися сдвигом фаз на при некогерентном приёме применять нельзя, так как при неизвестной начальной фазе такие сигналы неразличимы. Однако если сдвиг фазы в канале изменяется достаточно медленно, то разности фаз между соседними элементами практически сохраняются и могут быть

Рис. 5.17. Зависимости вероятности ошибки в двоичной системе, ортогональной в усиленном смысле, с активной паузой (например, ЧМ) при оптимальном приёме и различных параметрах канала: (1) канал с постоянными параметрами (когерентный прием); (2) канал с неопределённой фазой без замираний (некогерентный приём); (3) обобщённые рэлеевские замирания; (4) рэлеевские замирания; (5) односторонние нормальные замирания

измерены в приёмнике. Поэтому вполне возможен некогерентный приём при ОФМ.

Поскольку при ОФМ информационный параметр сигнала определяется двумя соседними элементами на интервале и на интервале то оптимальный алгоритм (5.74) можно записать в виде

Приходящий сигнал на двух тактовых интервалах при ОФМ можно представить в зависимости от символа, передаваемого элементом, так: ;

где случайная начальная фаза, неизвестная при приёме, зависящая, в частности, от символа, передававшегося элементом.

Нетрудно видеть, что (5.84) представляет собой двоичную систему сигналов с равной энергией, ортогональную в усиленном смысле на интервале длительностью а не Поэтому вероятность ошибки при приёме сигналов ОФМ по алгоритму (5.83) определяется на основании (5.82), но с учётом того, что энергия сигнала на интервале равна

где параметр отношение энергии сигнала на интервале длительностью к спектральной плотности мощности шума. Как и следовало ожидать,

вероятность ошибки (5.85) несколько больше, чем вычисленная для когерентного приёма двоичной ОФМ (5.56), однако различие между ними очень мало.

Для схемной реализации алгоритм (5.83) можно упростить. Для этого подставим систему сигналов (5.84) в (5.83) и после сокращения одинаковых слагаемых приведём алгоритм приёма к виду

Полагая фазу у хотя и случайной, но постоянной на интервале можно легко показать, что левая часть (5.86) инвариантна к значению этой фазы.

На рис. 5.18 показана корреляционная схема, реализующая алгоритм приёма (5.86) на основе активных фильтров. Величины получаются путём интегрирования произведения элемента принимаемого колебания на опорные сигналы на интервале длительностью

В моменты времени, кратные величины снимаются непосредственно с интегратора, а с выхода цепи задержки на время На рис. 5.18 не показаны цепи, осуществляющие сброс интегратора к концу интервала интегрирования и ввод накопленного на нём результата в перемножитель и цепь задержки на время

Некогерентный приём ОФМ можно реализовать также в схеме с согласованным фильтром и линией задержки (рис. 5.19). Приходящий сигнал поступает на фильтр согласованный с элементом сигнала длительностью Отклик фильтра поступает на два входа перемножителя, на один из них непосредственно, а на другой - через линию задержки обеспечивающую задержку на время Таким образом, вблизи момента

Рис. 5.18. Схема оптимального иекогерентного приёма сигналов ОФМ на базе активных фильтров

Рис. 5.19. Схема оптимального некогерентного приёма с согласованным фильтром и линией задержки для сигналов ОФМ

Рис. 5.20. Схема неоптимального приёма сигналов АМ методом сравнения огибающей с пороговым уровнем

Рис. 5.21. Схема неоптимального некорентного приёма сигналов ЧМ с разделительными полосовыми фильтрами

отсчета на перемножитель поступают напряжения, соответствующие двум соседним элементам сигнала — только что закончившемуся и предыдущему, прошедшему через линию задержки. Можно показать, что первое из этих напряжений выражается формулой а второе После их перемножения и фильтрации результата в ФНЧ получаем напряжение которое в РУ сравнивается с нулевым порогом, т.е. реализуется алгоритм (5.86). Описанную схему называют схемой сравнения фаз

Остановимся кратко на некоторых схемах неоптимального приёма при неопределённой фазе сигнала, щироко используемых в современной аппаратуре связи. При приёме сигналов двоичной АМ распространена схема рис. 5.20. Здесь амплитудный детектор (Д) и фильтр нижних частот (ФНЧ) выделяют огибающую принимаемого колебания, прошедшего входной избирательный блок — полосовой фильтр (ПФ) с эффективной полосой пропускания достаточной для получения всех наиболее существенных компонент сигнала. Огибающая с выхода ФНЧ в определённые моменты времени (например, в середине посылки) сравнивается в с некоторым пороговым уровнем При выполнении неравенства

регистрируется символ 1, в противном случае — 0. Сравнивая (5.88) с алгоритмом (5.72) и их схемные реализации, можно видеть, что схема рис. 5.20 отличается от оптимальной некогерентной схемы использованием и последетекторного ФНЧ вместо одного согласованного фильтра до детектора.

При приёме сигналов двоичной ЧМ распространена схема рис. 5.21, где разделительные полосовые фильтры, пропускающие без существенных искажений соответственно сигналы амплитудный детектор. Разностный сигнал двух детекторов подвергается фильтрации в а результат для выбора решения сравнивается с нулевым порогом.

Анализ такой системы приводит к следующим результатам. Вероятность ошибок в схеме рис. 5.21 больше, чем при оптимальном некогерентном приёме, причём её возрастание обусловливается двумя основными факторами:

а) уменьшением отношения мощности сигнала к мощности шума по сравнению с согласованным фильтром;

б) межсимвольными помехами, создаваемыми переходными процессами в фильтрах (остаточными собственными колебаниями, возникшими в результате воздействия предыдущих элементов сигнала).

Как указывалось в § первый из этих факторов вызывает наименьшую потерю помехоустойчивости, если полоса пропускания полосового фильтра Однако при такой полосе пропускания весьма существенные погрешности вносятся за счёт второго фактора — межсимвольной интерференции. Поэтому наименьшая вероятность ошибок в схеме с полосовыми разделительными фильтрами при отсутствии ФНЧ достигается при более широкой полосе пропускания - примерно Можно показать, что для получения одинаковой вероятности ошибок в схеме с полосовыми разделительными фильтрами требуется в

раз (в данном примере в 3 раза) большая мощность сигнала, чем в схеме оптимального некогерентного приёма, что и определяет энергетический проигрыш при замене согласованных фильтров полосовыми.

Схему приёмников с неоптимальной фильтрацией до и после детектора широко используют на практике в тех случаях, когда частотная стабильность недостаточна, т.е. неточность частоты сигнала следовательно, реализации оптимального приёма с согласованной фильтрацией фактически невозможна. Это имеет место, например, вследствие эффекта Доплера при связи с движущимися объектами или при использовании движущегося спутника для ретрансляции при больших нестабильностях частот автогенераторов и т.д.

Если полосы пропускания входных фильтров в схемах рис. 5.20 и 5.21 удовлетворяют условию , то сигнал останется в полосе пропускания фильтра при всевозможных флуктуациях частот. При этом значение может оказаться значительно больше 1, и не будь фильтрации сигнала после детектора, энергетический проигрыш (по сравнению с оптимальным приёмом при стабильной частоте сигнала) был бы весьма существен. Однако есть возможность значительно уменьшить этот пронгрыш, применив фильтрацию напряжения снимаемого с выхода детектора. При полосовой фильтр почти не искажает огибающую входного сигнала, поэтому при отсутствии помех напряжение на выходе детектора в схеме рис. 5.20 представляет собой однополярные импульсы а на выходе блока вычитания схемы рис. 5.21 - двухполярные. При небольшом уровне шума на входе детектора условия на его выходе приближённо такие же, как при приёме прямоугольных импульсов на фоне белого гауссовского шума. Поэтому естественно включить после детектора фильтр, согласованный с прямоугольным импульсом (см. рис. 5.10, а). На практике часто применяют и несогласованный последовательный фильтр нижних частот, как это показано в схемах рис. 5.20 и 5.21.