Спектральное представление периодических колебаний.

При формировании и обработке сигналов часто приходится иметь дело с периодическими колебаниями сложной формы. Периодическую функцию период повторения) можно представить разложением в обобщённый ряд Фурье (2.22) по базисным функциям основной тригонометрической системы

Все функции системы (2.28) попарно ортогональны на интервале Обобщённый ряд Фурье по базисным функциям (2.28) можно записать

Представление (2.29) называют рядом Фурье. Ряд (2.29) можно записать в виде

где

Согласно формуле (2.31) периодическую функцию можно представить суммой гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте с амплитудами и начальными фазами Совокупность амплитуд образует амплитудный спектр сигнала, а совокупность фаз фазовый спектр сигнала.

Рис. 2.4. Амплитудный спектр периодического сигнала с периодом следования

Линейчатый амплитудный спектр периодического сигнала изображён на рис. 2.4. Ряд Фурье (2 31) часто представляется в комплексной форме

где комплексная амплитуда, определяемая по формуле

Следует обратить внимание на то, что сумма в (2.33) охватывает не только положительные значения к, но и отрицательные (появляются "отрицательные частоты").

Для перехода из (2.31) к (2.33) можно воспользоваться формулой Эйлера

Выражение (2.35) можно интерпретировать как представление гармонического сигнала единичной амплитуды с положительной частотой в виде суммы двух гармонических колебаний (половинной амплитуды) на положительной частоте и отрицательной частоте Для вещественных функций как следует из (2.30) и (2.32), (амплитудный спектр — чётная функция частоты, фазовый — нечётная функция частоты). Как следствие Комплексное представление ряда Фурье оказывается очень удобным при выполнении различных расчётов.