5.3. ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПРИЁМА ПРИ ПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНЫХ СИГНАЛАХ (КОГЕРЕНТНЫЙ ПРИЁМ)

Предположим, что все искажения в канале строго детерминированы и случайным является только гауссовский аддитивный шум который вначале полагаем белым, со спектральной плотностью Это значит, что при передаче символа принимаемое колебание можно описать моделью (4.48):

где все известны. Не известна лишь реализация помехи и позиция (индекс ) действительно переданного сигнала, который и должна определить решающая схема.

Будем также считать, что все являются финитными сигналами, длительность которых Это имеет место, если передаваемые сигналы финитны и имеют одинаковую длительность (система синхронная), а в канале нет ни многолучевого распространения, ни линейных искажений, вызывающих увеличение длительности сигнала (либо они скорректированы).

В дальнейшем будем везде полагать, что в системе обеспечена надёжная тактовая синхронизация, т.е. границы тактового интервала, на котором приходит сигнал известны точно. Вопросы синхронизации весьма существенны при реализации оптимальных демодуляторов и синхронных систем связи вообще, но они выходят за пределы данного курса. Момент начала посылки примем за нуль.

Определим в этих условиях алгоритм работы оптимального (т.е. основанного на правиле максимального правдоподобия) демодулятора, анализирующего сигнал на тактовом интервале Для этого необходимо найти отношения правдоподобия для всех возможных сигналов относительно нулевой гипотезы

Задача затрудняется тем, что ширина спектра сигнала бесконечна (поскольку он финитный), а поэтому пространство сигналов бесконечномерное Для таких сигналов (или бесконечномерных векторов) не существуют плотности вероятностей. Однако существуют -мерные плотности вероятностей для любых и сечений сигнала.

Заменим вначале белый шум квазибелым, имеющим ту же одностороннюю спектральную плотность мощности но только в некоторой полосе частот где Рассмотрим дополнительную гипотезу, т.е. будем считать, что стационарный шум с нулевым МО. Возьмём на тактовом интервале равноотстоящих сечений через Отсчёты в этих сечениях для квазибелого гауссовского шума независимы в соответствии с (2.89). Поэтому -мерная плотность вероятности для взятых отсчётов

где дисперсия (мощность) квазибелою шума.

При гипотезе, что передавался символ согласно Следовательно, условная -мерная плотность вероятности сечений определится такой же формулой, как и (5.22), если заменить разностью представляющей при этой гипотезе шум:

Отношение правдоподобия для сигнала (относительно дополнительной гипотезы), вычисленное для сечений,

Заменим дисперсию её выражением:

Тогда

По правилу максимума правдоподобия в случае квазибелого шума решающая схема должна выбирать значение обеспечивающее максимум Вместо можно отыскивать максимум его логарифма:

Вернёмся к исходной задаче для белого шума. Для этого будем расширять полосу тогда число сечений стремится к бесконечности, к нулю. Суммы в (5.23) обращаются в интегралы, и после раскрытия квадрата в первом слагаемом правило решения (выбора оценки можно написать следующим образом:

Правило приёма (5.24) сводится к проверке системы неравенств

где энергия ожидаемого сигнала Выражение (5.25) определяет те операции (алгоритм приёма), которые должен совершать оптимальный приёмник над входным колебанием.

Для двоичной системы алгоритм (5.25) сводится к проверке одного неравенства

При выполнении неравенства (5.26) регистрируется символ в противном случае

Устройство, непосредственно вычисляющее скалярное произведение (или корреляционный интеграл):

называют активным фильтром или коррелятором, поэтому приёмник, реализующий алгоритм (5.25), называют корреляционным.

На рис. 5.2 показана структурная схема приёмного устройства, работающего в соответствии с (5.26). Здесь блоки перемножители; генераторы опорных сигналов интеграторы; "—" — вычитающие устройства; решающее устройство, определяющее в моменты времени, кратные (при замыкании ключа), номер -ветви с максимальным сигналом

Рис. 5.2. Оптимальный демодулятор при точно известных сигналах, построенный по корреляционной схеме

При в схеме рис. 5.2 и других нижеприведённых схемах растет соответственно число ветвей обработки сигнала, попадающих на

Если сигналы выбраны таким образом, что все их реализации (а следовательно, и все реализации имеют одинаковые энергии алгоритм приёма (5.25) (и соответственно его реализация) упрощается (отпадает необходимость в вычитающих устройствах) и принимает вид

или

Из (5.28) видно, что правило решения не изменится, если сигнал поступающий на вход демодулятора, умножить на любое число. Поэтому система, в которой все реализации сигнала имеют равную энергию, отличается тем, что оптимальный алгоритм приёма в ней не требует знания "масштаба" приходящего сигнала или, другими словами, знания коэффициента передачи у канала. Эта особенность обусловила широкое распространение систем сигналов с равной энергией, что важно для каналов с замираниями, в которых коэффициент передачи флуктуирует.

Заметим, что для двоичной системы неравенство (5.26) можно представить в более простом виде:

где разностный сигнал; пороговый уровень. Для системы сигналов с равной энергией что значительно облегчает реализацию оптимальной схемы.

Для реализации (5.29) в схеме рис. 5.2 требуется лишь одна ветвь.

На рис. 5.3, а показана схема, реализующая алгоритм (5.29) для двоичной системы передачи однополярными импульсами (с пассивной паузой): При этих сигналах и (5.29) примет следующий вид:

На схеме пороговый уровень с учётом постоянной цепи

Рассмотренную систему двоичных сигналов используют в простейших устройствах проводной связи. В радиоканалах, а также в современных кабельных каналах применяют высокочастотные сигналы. Наиболее простыми двоичными системами с гармоническими сигналами являются системы с амплитудной (AM), фазовой и частотной (ЧМ) манипуляцией.

В двоичной Все входящие сюда постоянные в этом параграфе полагаем известными. Поскольку здесь и правило (5.29) запишем в виде

Оно реализуется схемой рис. 5.3, б, которая отличается от рис. 5.3, а блоком перемножения приходящего сигнала с опорным сигналом Пороговый уровень в этом случае равен

При двоичной ФМ с противоположными сигналами

Это — система с равной энергией сигналов, и поэтому в Легко убедиться, что

Рис. 5.3. реализация оптимального приема двоичных прямоугольных импульсов (а) и реализация оптимальною приёма в двоичной системе АМ, ФМ при точно известном сигнале (б)

правило решения сводится при этом к следующему: и реализуется той же схемой рис. 5.3, б при В этом случае играет роль дискриминатора полярностей.

Чтобы придать алгоритму оптимального приёма (5.25) наглядный геометрический смысл, прибавим в обоих частях неравенства одинаковую величину Тогда алгоритм принимает вид

Умножая левую и правую часть неравенства на —2, отчего знак неравенства меняется на обратный, получаем интересующий нас алгоритм приёма, эквивалентный (5.25):

Отметим, что именно в таком виде впервые получил алгоритм оптимального приёма В.А. Котельников [18].

На рис. 5.4 для показана структурная схема приёмного устройства, работающего в соответствии с алгоритмом (5.30).

Здесь "—" — вычитающие устройства; генераторы опорных сигналов квадраторы; интеграторы; решающее устройство, определяющее в моменты времени, кратные (при замыкании ключей), номер ветви с минимальным сигналом.

В пространстве Гильберта определяет норму разности векторов или расстояние между ними Поэтому алгоритм (5.30) можно записать в виде

и придать ему простую геометрическую интерпретацию: оптимальный демодулятор должен регистрировать тот из сигналов (соответствующий символу который "ближе" к принятому

Рис. 5.4. Структурная схема отимального приёмного устройства при точно известных сигналах, содержащая квадраторы

Рис. 5.5. Оптимальное разбиение пространства принимаемых колебаний при двоичном коде и точно известных сигналах

колебанию . В качестве примера на рис. 5.5 показано оптимальное разбиение двумерного пространства принимаемых сигналов при передаче сигналов Области принятия решения в пользу символов 0 и 1 расположены по обе стороны от прямой перпендикулярной отрезку, соединяющему точки сигналов и делящему его пополам.

Наличие в схеме рис. 5.4 квадраторов, призванных обеспечить квадратическое преобразование мгновенных значений входных сигналов во всем их динамическом диапазоне, часто затрудняет её реализацию.

Рассмотрим вкратце случай, когда гауссовский шум в канале не белый и не квазибелый, а окрашенный, т.е. имеет неравномерную плотность мощности в полосе спектра сигнала. Пропустим приходящую на вход демодулятора сумму сигнала и шума через фильтр с передаточной функцией такой, чтобы в полосе спектра сигнала произведение было постоянной величиной Из всех возможных фильтров с удовлетворяющих этому условию и различающихся только фазо-частотной характеристикой, можно выбрать минимально фазовый, у которого связана с натуральным логарифмом парой преобразований Гильберта [3]:

Очевидно, что на выходе фильтра шум окажется квазибелым: Поэтому такой фильтр называется обеляющим.

Сигнал после прохождения через обеляющий фильтр превратится в некоторый другой сигнал, который обозначим Вид его можно определить, зная Если теперь подать колебания с выхода обеляющего фильтра на демодулятор, являющийся оптимальным для приёма сигналов то получим схему рис. 5.6, которая, очевидно, является оптимальной для сигналов окрашенном шуме.

Следует обратить внимание на то, что в схемах рис. 5.3 и 5.4 опорные сигналы должны иметь те же начальные фазы, что и ожидаемые приходящие сигналы или, другими словами, должны быть когерентными с приходящими сигналами. Это требование обычно затрудняет реализацию демодулятора и требует введения в него помимо указанных на рисунках блоков дополнительных устройств, предназначенных для регулировки фаз опорных сигналов.

Рис. 5.6. Оптимальный демодулятор с обеляющим фильтром при гауссовском "окрашенном шуме"

Все методы приёма, для реализации которых необходимо точное априорное знание начальных фаз приходящих сигналов, называют когерентными. В тех случаях, когда сведения о начальных фазах ожидаемых сигналов извлекаются из самого принимаемого сигнала (например, если фаза флуктуирует, но настолько медленно, что может быть предсказана по предыдущим элементам сигнала), приём называют квазикогерентным. Если же сведения о начальных фазах приходящих сигналов отсутствуют или по каким-либо соображениям их не используют, то приём называют некогерентным (см. § 5.7).