Теорема отсчётов.

Фундаментальное значение для решения многих задач теории передачи сигналов имеет следующая теорема отсчётов Котельникова: непрерывная функция не содержащая частот выше граничной полностью определяется отсчётами мгновенных значений в точках, отстоящих друг от друга на интервалы Интервал называется интервалом Котельникова. Эта теорема позволяет представить непрерывную функцию в виде ряда

Из сопоставления ряда (2.55) с общим видом обобщённого ряда Фурье в пространстве Гильберта следует, что элементарными базисными функциями в разложении Котельникова являются отсчётные функции)

Для коэффициентов разложения по элементарным функциям (2.56) в соответствии с (2.17) можем записать

где постоянная а вводится с учётом нормировки функций (2.56). Докажем, что коэффициенты соответствуют мгновенным значениям функции в точках Пусть преобразование Фурье функции тогда

где

Если имеет ограниченный спектр с наивысшей частотой то вне полосы равно нулю, а выражение (2.58) принимает вид Пусть тогда или после подстановки в последнее выражение вместо его значения из (2.59) и изменения порядка интегрирования получим

После вычисления интеграла в квадратных скобках получаем

Сравнение (2.60) с (2.57) при а показывает, что коэффициентами обобщённого ряда Фурье разложения (2.16) по ортогональным функциям (2.56) являются отсчёты мгновенных значений функции в моменты