5.2. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА И ПРАВИЛА ПРИЁМА ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ

Рассмотрим сначала широко распространённый критерий Котельникова или критерий идеального наблюдателя, согласно которому качество демодулятора оценивают безусловной (средней) вероятностью правильного приёма символа. Будем сначала полагать, что пространство передаваемых и принимаемых сигналов является конечномерным евклидовым. Это может быть, например, пространство финитных сигналов, представляемых конечной тригонометрической суммой. В дальнейшем это ограничение будет снято.

В -мерном пространстве случайный сигнал характеризуется -мерной плотностью вероятностей вектора Её можно рассматривать как плотность вероятности коэффициентов разложения по любому ортонормированному базису. Если передаётся некоторый символ т.е. принимается сигнал то можно определить условную -мерную плотность вероятности функцию правдоподобия гипотезы

Пусть на вход демодулятора в течение отрезка приходит некоторый элемент сигнала Предположим, что демодулятор принимает при этом решение, что передан символ т.е. выдаёт оценку Вероятность того, что это решение правильно, очевидно, равна условной вероятности того, что действительно передавался символ при условии прихода реализации элемента сигнала Её называют апостериорной вероятностью символа (т.е. вероятностью, определённой после опыта, заключающегося в наблюдении и анализе сигнала

Очевидно, что вероятность правильного приёма будет

достигает максимума, если для каждой конкретной реализации сумма

максимальна. Здесь апостериорная вероятность передачи в совокупности образуют решающее правило демодулятора. Так как то наилучшим решающим правилом будет такое, при котором для (соответствующего максимальной

Другими словами, критерий идеального наблюдателя обеспечивается решающей схемой, построенной по правилу максимума апостериорной вероятности — решение принимается в том случае, если выполняется система из от — 1 неравенств:

Для сокращения запишем это правило в такой форме:

где под понимается то значение при котором максимально.

Для двоичной системы сигналов упомянутое правило сводится к проверке неравенства

При выполнении неравенства (5.8) регистрируется символ 1, в противном случае — 0.

Согласно известной формуле Байеса

где априорная вероятность передачи символа (т.е. та вероятность, которая имеет место до наблюдения и анализа, и определяемая статистикой источника сообщения и правилом кодирования).

Подставив (5.9) в (5.6) и учитывая, что безусловная плотность вероятности, не являющаяся функцией можно записать правило решения по критерию идеального наблюдателя в следующей форме:

или сокращенно:

Приёмник, реализующий алгоритм (5.10), называют приёмником Котельникова. Для двоичной системы правило (5.10) сводится к проверке неравенства

при выполнении которого регистрируется символ 1, а при невыполнении - 0.

Для построения решающей схемы по правилу (5.10) необходимо знать априорные вероятности символов а также свойства модулятора и канала, определяющие условные плотности — функции правдоподобия.

Правило (5.10) можно записать иначе. Решение о том, что передавался символ должно приниматься, если для всех выполняются от — 1 неравенств

Отношение в левой части этого неравенства называется отношением правдоподобия двух гипотез: о том, что передавался символ и о том, что передавался символ Его обозначают

В случае, когда все от символов передаются равновероятно, т.е. правило (5.12) упрощается:

Иногда вводят в рассмотрение помимо от гипотез о передаче символов ещё дополнительную ("шумовую") гипотезу о том, что никакой сигнал не передавался, т.е. чистая помеха". Отношение правдоподобия обычно обозначают просто Тогда правило (5.13) можно записать так:

или короче: Такое правило максимума правдоподобия реализует критерий идеального наблюдателя при том условии, что все символы передаются равновероятно.

Для двоичной системы правило (5.14) сводится к проверке неравенства

Как отмечалось, критерий идеального наблюдателя не является единственным разумным критерием оптимальности решающей схемы. Дело в том, что во многих случаях различные ошибки приводят к различным последствиям. Например, в системе автоматической пожарной сигнализации опаснее не обнаружить сигнал о пожаре, нежели объявить "ложную тревогу", когда в действительности пожара нет.

Учёт последствий ошибок различного рода (связанных с передачей различных символов) приводит к обобщению критерия идеального наблюдателя, известного под названием критерия минимального среднего риска (или байесовского критерия). Введём некоторые понятия.

Если при передаче символа принят символ то при имеет место ошибка. Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, будем с каждой парой символов , связывать некоторую численную величину, называемую "потерей", обозначив её Величина "потери" зависит, таким образом, от того, какой символ принят вместо переданного

Правильному приёму при этом обычно приписывается нулевая "потеря". Значения определяются в каждом конкретном случае важностью правильного приёма данного элемента сигнала и величиной опасности различных ошибок.

Так как при передаче символа символы появляются с определёнными вероятностями как реализации некоторой дискретной случайной величины, можно говорить об условном математическом ожидании величины "потери" при передаче конкретного символа Назовем это условное математическое ожидание условным риском:

Интеграл в (5.16) берется по области В, решающей схемы и представляет вероятность того, что сигнал попал в эту область, если передавался символ Усреднив условный риск по всем символам получим величину, называемую средним риском:

Критерий минимального среднего риска заключается в том, что оптимальной считается решающая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риска Приёмник, работающий по такому критерию, называют байесовским.

Из (5.17) видно, что при использовании этого критерия нужно, помимо априорных вероятностей передачи отдельных символов знать и величины потерь Заметим, что если считать все ошибки равноценными при то критерий минимального среднего риска совпадает с критерием идеального наблюдателя, а байесовский приёмник совпадает с идеальным приёмником Котельникова. В общем же случае в оптимальном байесовском приёмнике чаще будут возникать ошибки, связанные с малыми потерями, и реже — с большими потерями.

Ситуация, в которой практически невозможно определить априорную вероятность передачи отдельных элементарных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы, типична для радиолокации, когда приёмник, анализируя принимаемое колебание (отражённый сигнал плюс помеха), должен определить, имеется в данном направлении и на данном расстоянии объект наблюдения (цель) или нет. Как правило, априорная вероятность наличия отражённого от цели сигнала (передачи 1) заранее не известна. Последствия двух родов ошибок — ложной тревоги (приёмник фиксирует, что цель существует, в то время как в действительности её нет) и пропуска цели (приёмник отмечает отсутствие цели, в то время как фактически она имеется) — неравноценны.

В этой и других сходных ситуациях чаще всего пользуются критерием приёма, известным под названием критерия Неймана-Пирсона. Суть его заключается в том, что решающая схема считается оптимальной, если при заданной вероятности ложной тревоги обеспечивается минимальная вероятность пропуска цели Введём в рассмотрение функции правдоподобия гипотезы об отсутствии цели и наличии цели

Очевидно, что можно различными способами разбить пространство принимаемых колебаний на две области: (область решения об отсутствии цели) и ( наличии цели) — так, чтобы вероятность ложной тревоги

равнялась заданной величине. Поскольку в локации символ 0 (отсутствие цели) передаётся паузой, то это плотность распределения помехи. Следовательно, вероятность ложной

тревоги определяется вероятностными характеристиками помехи и выбором области Но от выбора этой области зависит и вероятность правильного обнаружения цели:

вероятность пропуска цели.

Интегралы в (5.18), (5.19) и в аналогичных других формулах, взятые по векторной переменно очевидно, многократные.

Максимизация (5.19) при заданной величине (5.18) достигается, если решение о наличии цели принимается при выполнении неравенства

где X — пороговый уровень, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги

Существуют и другие критерии качества приёма, не требующие знания априорных вероятностей символов.

В технике связи преимущественно применяют правило максимального правдоподобия (5.14), (5.15). В том случае, когда все символы передаются равновероятно, правило максимального правдоподобия реализует критерий идеального наблюдателя. Однако очень часто это правило решения применяют и при неизвестных или известных, но не одинаковых априорных вероятностях символов. Конечно, оно не обеспечивает в этих случаях максимума вероятности правильног о приёма. Изменив решающую схему на схему, построенную по правилу максимальной апостериорной вероятности (5.8), реализующему критерий идеального наблюдателя, можно было бы уменьшить вероятность ошибок. При этом, очевидно, пришлось бы сократить области приёма маловероятных и расширить области высоковероятных символов. В результате редко передаваемые символы принимались бы менее надёжно, нежели часто передаваемые. Но редкие символы несут больше информации, чем частые (см. § 6.3). Поэтому переход от правила максимального правдоподобия к правилу максимальной апостериорной вероятности, хотя и уменьшает безусловную вероятность ошибки, может привести к увеличению потери информации при демодуляции. Легко показать, что правило максимального правдоподобия реализует критерий минимума среднего риска (5.17), если положить при при

Вследствие сказанного будем в дальнейшем пользоваться, если не оговорено обратное, правилом максимального правдоподобия и решающую схему, реализующую правило (5.14), называть оптимальной.