11.3. ВЫБОР СИГНАЛОВ И ПОМЕХОУСТОЙЧИВЫХ КОДОВ

Эффективность систем передачи дискретных сообщений можно существенно повысить путём применения многопозиционных сигналов и корректирующих кодов. Выбор сигналов и кодов в этих случаях является определяющим для построения высокоэффективных кодемов (согласованных между собой кодеков и модемов).

Многопозиционные сигналы.

Ансамбль сигналов отрезке можно представить в виде

здесь система базисных ортонормированных функций

где число измерений (отсчётов) на интервале (для финитных сигналов, энергия которых почти полностью сосредоточена в полосе Коэффициенты разложения в (11.15) определяются как проекции вектора на координатные оси

Геометрически каждому сигналу ансамбля соответствует точка (или вектор) в -мерном пространстве с координатами Энергия сигнала равиа квадрату нормы:

а расстояние между сигналами

где

— коэффициент взаимной корреляции рассматриваемых сигналов. В дальнейшем будем рассматривать ансамбли сигналов с равной энергией Примером сигналов у которых сигнальные точки (векторы) располагаются на прямой, являются двоичные противоположные сигналы. Им соответствует две симметрично расположенные относительно начала координат точки на прямой с координатами Расстояние между сигналами а коэффициент корреляции Двоичные ортогональные сигналы являются примером сигналов, у которых сигнальные точки располагаются в плоскости Им соответствуют два ортогональных вектора на плоскости с координатами

Расстояние между сигналами а коэффициент корреляции

Наиболее распространёнными многопозиционными сигналами являются ортогональные, биортогональные и симплексные. Если сигнальные точки выбрать на линиях, совпадающих с ортами на расстояниях от начала координат, то получим систему ортогональных сигналов. Число сигналов в таком ансамбле Так, если принять

то согласно т. е. сигналы являются отрезками гармонических колебаний разных частот Ю],

удовлетворяющих условию ортогональности. Это известные сигналы многочастотной модуляции (МЧМ). Ортогональные сигналы образуют эквидистантную систему: расстояния между любыми двумя сигнальными точками одинаковы и согласно выражению (11.17) равны Перспективным вариантом ЧМ сигналов являются частотно-манипулированные сигналы с непрерывной фазой которые мы рассмотрели в

Биортогональные сигналы образуются по следующему правилу: к каждому ортогональному сигналу добавляется противоположный. Здесь число сигналов Простейшим из биортогональных является ансамбль с Сигналы имеют одинаковые энергии, а сигнальные точки располагаются на одинаковом расстоянии от начала координат. На амплитудно-фазовой плоскости они образуют квадратную сеть (на рис. 11.5 знаками обозначено начало координат). При выборе в качестве базисных функций

сигналы этого ансамбля

отличаются только начальными фазами. Это широко используемые сигналы с фазовой модуляцией и числом позиций Расстояние между ближайшими сигнальными точками этого ансамбля равно а между противоположными сигналами —

Известные сигналы с амплитудно-фазовой модуляцией (АФМ -4) образуют круговую сеть: три сигнала равномерно распределены по окружности, а четвёртый расположен в центре окружности (рис. 11.5). В том же базисе они могут быть представлены так:

Симплексные сигналы отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии. В -мерном пространстве они образуют правильный симплекс с числом вершин В двумерном пространстве сигнальные точки лежат в вершинах равностороннего треугольника (рис. 11.5). Расстояние между сигнальными точками симплексного ансамбля

При симплексные сигналы совпадают с противоположными. Для ансамблей с большим объёмом симплексные сигналы по своим свойствам и в частности по помехоустойчивости близки к ортогональным Многопозиционные сигналы с фазовой модуляцией (ФМ) образуют круговую сеть с равномерным распределением точек по окружности (рис. 11.5). На рис. 11.5 показано также расположение сигнальных точек в 8 позиционной системе с амплитудно-фазовой модуляцией (АФМ-8).

Рис. 11.5. Примеры ансамблей сигналов, отображаемых на амплитудно-фазовой плоскости

Построение ансамблей многопозиционных сигналов можно осуществить и на основе двоичных последовательностей. Для этого обычно используют элементарную матрицу Адамара повторением которой трижды в позитивной и один раз в негативной форме можно увеличить размеры матрицы каждый раз вдвое и получить матрицу которая представляет ансамбль ортогональных сигналов с

Каждая строка этой матрицы (последовательность двоичных символов) образует одии сигнал. Нетрудно проверить, что эти строки (сигналы) взаимно ортогональны. Дополняя матрицу инверсиями строк, получаем матрицу В, представляющую ансамбль биортогональных сигналов. Аналогично строятся ансамбли с большим числом сигналов Симплексные сигналы также могут быть получены на основе двоичных последовательностей.

В асинхронно-адресных системах широко используются ансамбли "почти ортогональных" сигналов, которые также формируются на основе двоичных последовательностей. Это известные рекуррентные псевдослучайные -последовательности, которые рассматривались в § 9.4.

- В § 5.5 получены главным образом выражения для вероятности ошибки при Для недвоичных систем получить такие простые выражения не удаётся. Для некоторых ансамблей сигналов путём численного интегрирования получены графики зависимости которые приведены на рис. 11.2. Для приближённых вычислений можно воспользоваться верхней оценкой (5.60): , где вероятность ошибки двоичной системе, использующей сигналы

Следует напомнить, что это вероятность ошибочного приёма сигнала, а не символа кода. Каждый миогопозиционный сигнал содержит информацию о блоке, содержащем определённое число двоичных сомволов. Так, при (случай ФМ-4) будет четыре блока 11. Многопозиционные сигналы, соответствующие этим блокам, выбираются так, чтобы минимизировать вероятность ошибки на двоичный символ (на бит) Очевидно, ошибки чаще будут происходить за счёт переходов в области соседних сигналов. Поэтому блоки, соответствующие соседним сигналам, должны отличаться наименьшим числом двоичных символов. Этому условию удовлетворяет манипуляционный код Грэя, пример которого для ФМ-4 приведён на рис. 11.5. Здесь противоположным сигналам присвоены противоположные блоки 11 и 00, а соседним (ближайшим) В этом случае переход из любой сигнальной точки в соседнюю область приводит к ошибке в одном двоичном символе [2]. При равновероятных ортогональных многопозиционных сигналах вероятность ошибки на бит вычисляется по следующей формуле:

где вероятность ошибочного приёма многопозиционного сигнала ортогонального ансамбля.

При одном и том же способе приёма различные ансамбли сигналов будут обеспечивать разную помехоустойчивость. Объясняется это особенностями расположения границ областей правильного приёма, окружающих каждый сигнал (рис. 5.1). Минимум средней вероятности ошибки достигается при размещении границ на равных расстояниях от соседних сигнальных точек. Поиск наилучшего ансамбля сводится к нахождению такого расположения сигнальных точек, при котором области сигналов имеют наибольшую величину, наиболее близки одна к другой по размерам и приближаются по форме к сферам. Это известная в многомерной геометрии задача плотнейшей укладки

одинаковых шаров в заданном объёме. Такое расположение обеспечивает одинаковую вероятность ошибки любого сигнала (области сигналов одинаковы) и минимальную среднюю энергию сигналов (области наиболее плотно упакованы).

На рис. 11.6 приведены -диаграммы для некоторых ансамблей многопозиционных сигналов. Значения энергетической эффективности определялись по кривым помехоустойчивости рис. 11.2 для заданного значения вероятности ошибки на бит а частотная эффективность определялась согласно (11.9):

Можно выделить два класса многопозиционных сигналов. К первому отнесем так называемые плотные сигналы, когда с ростом объёма ансамбля при фиксированной мерности и расстояние между сигнальными точками уменьшается, а удельная скорость у согласно (11.20) возрастает при соответствующем снижении энергетической эффективности -номограммы таких сигналов (многопозиционные ФМ и АФМ) приведены на рис. 11.6.

Ко второму классу отнесем биортогональные (БС), симплексные (СС) и ортогональные (ОС) сигналы - это примеры "разнесённых" сигналов, когда с увеличением расстояние между сигнальными точками увеличивается и соответственно увеличивается энергетическая эффективность за счёт снижения частотной эффективности у. Центральное место на диаграмме рис. 11.6 занимает система с сигналами ФМ-4, которые относятся к классу биортогональных при Из простых систем — это наиболее эффективная система к 0,47). В цифровых сетях система ФМ-4 является наиболее распространённой и принята в качестве стандарта. Поэтому при сравнительной оценке эффективности систем целесообразно принять за эталон систему с ФМ-4. Если начало координат перенести в точку, соответствующую ФМ-4, то в новой системе координат по вертикальной оси будет отсчитываться энергетический выигрыш рассматриваемых систем по сравнению с ФМ-4, а по горизонтальной оси — выигрыш по удельной скорости. В этой системе координат все возможные системы связи можно условно разделить на четыре группы, соответствующие четырём квадрантам на плоскости: 1) малоэффективные системы

Рис. 11.6. Кривые энергетической и частотной эффективности систем с многопозиционными сигналами, корректирующими кодами

(III квадрант), имеющие относительно ФМ-4 проигрыш по (например, АМ-2, ЧМ-2); 2) системы с высокой энергетической эффективностью (II квадрант), обеспечивающие выигрыш по и проигрыш по у (системы с корректирующими кодами); 3) системы с высокой частотной эффективностью (IV квадрант), обеспечивающие выигрыш по у и проигрыш по (системы с многопозиционными ФМ и АФМ сигналами) и 4) высокоэффективные системы (I квадрант), позволяющие получить одновременно выигрыш по обоим показателям (сложные сигнально-кодовые конструкции).

Приведённые на рис. 11.6 номограммы позволяют количественно оценить обменный выигрыш (проигрыш) различных систем. Так применение биортого-нальных сигналов с позволяет получить энергетический выигрыш в обмен на снижение удельной скорости в 2 раза Обмен энергетической эффективности на частотную можно осуществить с помощью многопозиционных сигналов с ФМ. Однако более эффективными являются АФМ сигналы.