7.3.6. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ НА НЕДВОИЧНЫЕ КОДЫ

До сих пор мы рассматривали только двоичные линейные коды. Однако это делалось лишь для простоты. На самом деле теория линейных кодов обычно излагается сразу для -ичных кодов, где простое число, I — натуральное число, т.е. для случая, когда символы кода образуют конечное поле Галуа и над ними могут быть осуществлены все арифметические действия, которые существуют над вещественными или комплексными числами. Для таких -ичных кодов могут быть определены все понятия и доказаны все свойства, полученные ранее для двоичных кодов, а именно — порождающая и проверочная матрицы, систематические коды, дуальные коды, границы минимальных расстояний, стандартные расположения, синдромы, весовые спектры и границы для и род, циклические и БЧХ-коды, алгебраические и мажоритарные алгоритмы декодирования. Наиболее важным классом -ичных кодов являются коды Рида-Соломона (кратко PC-коды). Они могут быть построены как систематические циклические -коды при число исправляемых ошибок. Коды РС являются частью стандарта цифровой записи на компакт-диски.

По определению вектор х является словом -ичного -кода РС, если соответствующий ему многочлен имеет корни равные элементам поля где -примитивный элемент этого поля. Порождающий многочлен кода РС имеет вид

Как видно из определения PC-кода, он является частным случаем -ичных БЧХ-кодов. и согласно доказанному ранее, минимальное кодовое расстояние таких кодов будет в точности равно

Легко показать, что никакой линейный систематический -ичный код не может иметь Действительно, если выбрать значения к минус одного информационного символа равными нулю, то это даст ненулевое кодовое слово веса не более чем что по свойству линейного кода и определяет верхнюю границу для как Поскольку PC-код реализует верхнюю границу для минимального кодового расстояния, то он оказывается оптимальным среди всех -ичных -кодов в смысле исправления и обнаружения ошибок гарантированной кратности.

Можно дать простые описания PC-кода в несистематическом представлении. Тогда кодовый вектор определяется как

где значения информационных -ичных символов.

Выбор длины кода является достаточно сильным ограничением, особенно при большом порядке поля. Поэтому можно строить так называемые укороченные коды РС, имеющие произвольную длину Их можно получить из полных РС кодов, имеющих длину если положить часть информационных символов равными нулю и выбросить их из кодовых блоков. Легко видеть, что укорочение кода не может уменьшить минимального кодового расстояния, и поэтому -код при будет по-прежнему иметь

Коды РС, являясь частным случаем БЧХ кодов, имеют алгебраический алгоритм исправления ошибок с полиномиальной сложностью. Коды могут быть использованы совместно с двоичными кодами для построения так называемых каскадных кодов.