4.3.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ В УЗКОПОЛОСНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ КАНАЛАХ

Многие каналы (цепи) можно считать узкополосными, когда модули их передаточных функций имеют существенные значения лишь в малой окрестности частоты . В то же время и входные сигналы можно чаще всего в линиях связи считать узкополосными (квазигармоническими, см. § 2.2). Поэтому представляет интерес упрощённый метод расчёта преобразований таких сигналов, вводящий в рассмотрение низкочастотный эквивалент канала с передаточной функцией или

Спектральную плотность узкополосного входного сигнала со средней частотой спектра на положительных частотах на отрицательных частотах) можно представить в виде

где комплексная огибающая входного аналитического сигнала:

Докажем (4.26). Учитывая, что

имеем

Введём обозначение

Заменяя переменную (в области положительных частот) записываем

Выражение (4.28) определяет спектр по Фурье комплексной амплитуды который расположен в области низких частот. С учётом (4.28) из (4.27) следует (4.26). Из (4.26) следует, что спектр можно получить как удвоенное значение в области положительных частот при замене на

Аналогично, полагая что средняя частота в полосе пропускания канала с характеристикой на положительных частотах равна (на отрицательных можно записать

где сигнал, сопряжённый с по Гильберту, комплексная огибающая узкополосного канала а

— передаточная функция низкочастотного эквивалента канала с имеющая существенные значения лишь в области низких частот.

Из формулы (4.29) следует, что характеристику можно получить из в области положительных частот, полагая в ней Действительную узкополосной системы можно выразить через частотную характеристику низкочастотного эквивалента с учётом (4.30) так:

Пример. Одноконтурный резонансный усилитель имеет на положительных частотах передаточную функцию где постоянная времени контура.

Найти Передаточная функция низкочастотного эквивалента затем согласно (4.30) определим комплексную огибающую

Интегрирование выполняется просто при помощи теоремы о вычетах, если считать в интеграле, что является комплексной переменной. Замыкая вещественную ось дугой бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости (при перейдём от (4.32) к равному по величине интегралу по замкнутому контуру:

Подынтегральное выражение имеет единственный полюс в точке Вычет в этой точке согласно Используя (4.18), получаем где единичная функция. Согласно

По (4.10) определяем спектральную плотность выходного сигнала как произведение правых частей (4.26) и (4.29). Учитывая сноски на двух предыдущих страницах получаем

Спектральную плотность можно аналогично (4.26) представить через спектр по Фурье комплексной амплитуды выходного сигнала:

Приравнивая правые части (4.33) и (4.34) и обозначая находим низкочастотный эквивалент соотношения (4.10):

Исходя из (4.35) и учитывая (4.30), комплексную огибающую выходного сигнала можно найти и посредством свёртки:

Сам выходной сигнал

Пример. На входе одноконтурного резонансного усилителя из предыдущего примера действует амплитудно модулированный сигнал Найти отклик усилителя. Здесь

Согласно

Согласно (4.37) отклик усилителя

Отметим, что в некоторых задачах комплексную огибающую можно найти без формул (4.35) или (4.36), пользуясь обычными методами комплексных амплитуд из теории цепей. Реализовать комплексную фильтрацию (4.35) или (4.36) можно посредством квадратурной обработки сигнала [11].