Спектральное представление непериодических функций.

Разложение в тригонометрический ряд Фурье (2.33) может быть обобщено на случай непериодических функций путём устремления или Для этого запишем (2.33) так

где частотный разнос между линиями спектра периодического сигнала.

Введём в рассмотрение текущую частоту спектра и определим спектральную плотность (СП) по Фурье непериодического сигнала:

Тогда из (2.36) при следует представление

а из (2.34) и (2.37) следует формула для определения СП

Согласно (2.38) непериодическая функция представляется суммой гармонических компонент (на положительных и отрицательных частотах) с бесконечно малыми амплитудами Модуль определяет сплошной (непрерывный) спектр непериодического сигнала, сплошной (непрерывный) фазовый спектр непериодического сигнала. Спектр по Фурье можно записать в виде

где

Из (2.40) видно, что для вещественных функций амплитудный спектр является четной функцией частоты, фазовый спектр

нечётная функция частоты. Дискретный (линейчатый) спектр амплитуд периодического сигнала можно найти по формуле

Пара преобразований Фурье (обратное) описывается, как видно из (2.38) и (2.39), линейным оператором. Поэтому для этих преобразований справедлив принцип суперпозиции (наложения): СП для сигнала определяется суммой СП слагаемых Следует подчеркнуть, что, строго говоря, существует для функций удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости

Тем не менее можно определить СП и для сигналов не удовлетворяющих условию (2.42), если воспользоваться введённой выше обобщённой -функцией. Например, пусть по Фурье такого сигнала по определению

Воспользовавшись интегральным определением -функции (2.4), из (2.43) получим результат Аналогично можно показать, что СП для сигнала равна Как следствие, СП для сигнала равна Для спектральной плотности сигнала получаем

Скалярное произведение функций (в общем случае комплексных) в пространстве Гильберта можно выразить и через их СП по Фурье:

Соотношение (2.44) называют обобщённой формулой Рэлея (или соотношением Парсеваля).

Докажем её. Для этого в первом интеграле представим обратным преобразованием Фурье Тогда и

Если в (2.44) положить то для вещественного сигнала

Характеристика имеет смысл СП энергии, и (2.45) можно написать

Можно также ввести СП мощности (СПМ) сигнала длительностью Тогда

Характеристики играют важную роль в ТЭС. Из их определения ясно, что эти характеристики являются чётными функциями частоты. Тогда можно написать

где энергии и мощности, определённые на положительных частотах.

Соотношение (2.44) полезно обобщить. Определим скалярное произведение

С учётом того, что спектр Фурье для задержанного на время сигнала равен а для сигнала спектр Фурье равен получаем вместо (2.44) соотношение

Если в (2.50) положить и ввести обозначение для функции корреляции сигнала с размерностью энергии, то из (2.50) следует

Вводя обозначение для ФК сигнала с размерностью мощности, получаем соотношение

и, как следствие,

Таким образом, сигнала и его СП мощности (аналогично ФК сигнала и его СП энергии образуют пару преобразований Фурье.

В качестве иллюстраций в табл. 2.1 приведены примеры спектров некоторых импульсов (непериодических функций) и даны графики их амплитудных спектров в области положительных частот. Из приведённых примеров видно, что импульсы ограниченной длительности теоретически имеют бесконечный спектр. Практически под шириной спектра будем понимать эффективную область частот в пределах которой сконцентрировано энергии. Для колокольного (гауссовского, см. ниже) и экспоненциального импульсов, имеющих теоретически бесконечную длительность, для удобства расчётов также вводят понятие эффективной длительности понимая под этим интервал времени, в пределах которого сосредоточена основная доля энергии сигнала. Если принять за основную часть энергии то эффективная ширина спектра и эффективная длительность находятся из выражений

Для сравнения в табл. 2.2 представлены значения произведений при для импульсов из табл. 2.1. Для импульсов с "плавными" фронтами, например гауссовского и косинусоидального, произведение оказывается меньше, чем у импульсов со скачкообразными фронтами, например, прямоугольного и экспоненциального. Характерная особенность в том, что для всех импульсов (простых сигналов)

Таблица 2.1. (см. скан)

т.е. произведение величина порядка единицы. Соотношение (2.54) указывает на явную связь между шириной спектра и длительностью импульса: чем короче импульс, тем шире его спектр.

Разложение сигналов с использованием базисных функций Радемахера и Уолша. В последние годы успешно развиваются цифровые методы передачи и обработки сигналов на

Таблица 2.2 (см. скан)

основе дискретных ортогональных последовательностей в виде функций Радемахера, Уолша и др. Функции Радемахера образуются из синусоидальных функций с помощью соотношения

где аргумент безразмерное время; период функции, а положительное целое число порядок функции; знак действительного числа при при Иначе говоря, функции Радемахера, принимающие значения ±1, можно трактовать как функции "прямоугольного синуса". На рис. 2.5 приведены в качестве примера графики первых четырёх функций Радемахера для . Легко видеть, что функции ортонормированны на интервале

Дальнейшим развитием систем функций, имеющих форму "прямоугольной волны" является система функций Уолша Она образуется следующим образом. По определению вводятся функция при Для получения функции при достаточно записать число в двоичной системе счисления, т.е. представить суммой где положительные целые числа. При этом функция Уолша На рис. 2.6. приведены графики первых восьми функций Уолша построенных по четырём функциям Радемахера.

Функции Уолша не только ортогональны, они обладают и свойством мультипликативности. Это означает, что произведение любых двух функций Уолша также является функцией Уолша; где . В связи с возможностью применения к функциям Уолша логических операций, они находят применение при разработке устройств формирования и преобразования сигналов на базе микропроцессорной техники. Сигналы на основе функций Уолша используются в цифровых многоканальных системах передачи информации.

В теории связи, особенно в задачах аппроксимации, находят применение и другие ансамбли ортогональных функций. Среди них функции Лежандра, функции Лагерра, функции Эрмита [9].