2.3. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В ОБОБЩЁННЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Важным понятием в пространствах Евклида, Гильберта и Хэмминга является ортогональность векторов. Два вектора х и у ортогональны, если

Легко показать, что если векторы при взаимно ортогональны, то они также линейно независимы. Поэтому совокупность ортогональных векторов можно использовать в качестве базиса линейных пространств.

Представим непрерывную (во времени и по уровню) функцию с интегрируемым квадратом в пространстве через произвольную ортонормированную систему базисных функций Для которых

Вместо (2.19) имеем представление

где — коэффициенты (координаты) разложения в ортонормированном базисе Представление (2.22) называют обобщённым рядом Фурье. Для определения коэффициентов найдём скалярное произведение 1

С учётом (2.21) следует

Таким образом, коэффициенты обобщённого ряда Фурье являются проекциями вектора х на ортогональные оси (единичные орты) . С учётом (2.21) и (2.22) можно получить

(2.24) является частным случаем равенства Парсеваля (см. ниже). С учётом ортонормированного базиса легко видеть, что скалярное произведение и норма в пространстве можно находить по формулам (2.11) и (2.12).

Представим теперь приближённо функцию разложением в усечённый ряд по ортонормированным базисным функциям

и определим коэффициенты у, так, чтобы минимизировать среднеквадратическую погрешность

С учётом (2.23) можно записать

Погрешность принимает минимальное значение, если т.е. если коэффициенты разложения в усечённом представлении (2.25) являются коэффициентами обобщённого ряда

Фурье. Обозначив можно написать исходя из

или

Неравенство (2.27) называют неравенством Бесселя. С ростом и величина уменьшается. Если при и стремится к нулю, то систему базисных функций называют полной. Имея ввиду, то при справедливо (2.24), можно утверждать, что в пространстве Гильберта система базисных функций является полной. Эта система функций является также замкнутой, так как для любой функции из неравенство (2.27) переходит при в равенство.