Условие линейного разделения сигналов.

Воздействие линейного оператора на функцию можно представить в виде скалярного произведения

где некоторая весовая функция, соответствующая оператору Впервые определение избирательных свойств приёмника (9.5) и (9.6) было предложено в 1935 г. Д В Агеевым, который доказал, что необходимым и достаточным условием разделимости сигналов (9.2) линейными устройствами является условие линейной независимости. Напомним, что оно заключается в том, что тождество

может выполняться в том единственном случае, когда все коэффициенты одновременно равны нулю.

Действительно, в соответствии с определением избирательных свойств (9.5) и (9.6) подлежащие разделению сигналы и приёмные устройства должны удовлетворять условию линейного разделения

где отклик разделяющего устройства на сигнал причём при Если подействовать оператором , на обе части тождества (9.8), то, принимая во внимание (9.9) и принцип суперпозиции, получаем

Но не равны тождественно нулю, следовательно, равны нулю все Иначе говоря, условие линейного разделения (9.5) будет выполняться лишь тогда, когда канальные сигналы линейно независимы Частным случаем линейно независимых сигналов являются ортогональные сигналы.

В общем случае необходимым и достаточным условием линейной независимости ансамбля сигналов является отличие от нуля определителя Грама.

где скалярное произведение сигналов Определитель (9.11) равеи нулю, если функции линейно зависимы, и положителен для линейно независимых функций. Он равен произведению квадратов норм функций если они попарно ортогональны. Ортонормированная система всегда линейно независима, для нее определитель Грама равен единице.

Напомним, что в -мерном евклидовом пространстве, в частности в пространстве сигналов, представимых усечённым радом Котельникова, когда (В — база сигнала), можно выбрать не более В линейно независимых сигналов. Вышеизложенная теория линейного разделения построена без учёта аддитивных помех в канале. В этих условиях теоретически безразлично, выбирать ли систему переносчиков ортогональных или просто линейно независимых сигналов, в любом случае их максимальное число не превышает базы сигнала В. Однако если учесть влияние помех, то преимущество ортогональных сигналов становится неоспоримым, так как только в этом случае энергия сигнала используется полностью. Частным случаем ортогональных сигналов являются сигналы с неперекрывающимися спектрами, а также не перекрывающиеся во времени сигналы.