4.3.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ

Исследование преобразований случайных процессов при их прохождении через динамические системы (как с регулярными, так и со случайно меняющимися параметрами) связано с решением задач двух типов: определение корреляционной функции (спектральной плотности мощности) отклика на выходе системы, заданной своими характеристиками, по данной корреляционной функции (или спектральной плотности мощности) входного воздействия определение многомерного распределения вероятностей отклика на выходе системы по многомерному распределению входного воздействия

Вторая из указанных задач является более общей. Из её решения, очевидно, может быть получено решение первой задачи. Однако в дальнейшем

ограничимся рассмотрением только первой задачи и лишь укажем пути решения второй, более сложной задачи. Так, можно утверждать, что если полоса частот занимаемая входным случайным процессом много шире полосы пропускания данной линейной системы, то распределение выходного случайного процесса имеет тенденцию приближаться к гауссовскому.

Действительно, в стационарной детерминированной линейной системе с финитной т.е. ограниченной во времени пределами отклик

Шаг дискретизации можно выбрать равным интервалу корреляции входного процесса Допустим, что входной процесс центрирован тогда центрирован и выходной процесс. Узкая полоса пропускания означает, что длительность импульсной характеристики велика по сравнению с Сечение выходного процесса в любой момент времени определяется согласно слагаемыми суммы. В эту сумму входит много некоррелированных между собой сечений процесса Распределение вероятностей такой суммы согласно центральной предельной теореме теории вероятности близко к гауссовскому (тем ближе, чем больше определяемое отношением . В предельном случае, если на вход канала воздействует белый шум, у которого ширина спектра бесконечна (не совпадающие во времени отсчёты не коррелированы), а канал имеет ограниченную полосу пропускания, то и выходной процесс будет строго гауссовским. Отмеченное свойство линейного канала сохраняется и при изменении параметров канала.

Используя правила нахождения законов распределения для функций от случайных величин (случайных процессов), можно в принципе находить и распределение выходного процесса любого порядка, если известно распределение входного процесса. Однако определение многомерных вероятностных характеристик отклика линейных систем оказывается весьма громоздким и сложным, несмотря на то, что для решения этой задачи разработан ряд специальных приёмов.

Далее займемся определением функции корреляции выходного процесса. Мы показали в § 2.5, что для стационарных случайных процессов существует пара преобразований Фурье между процессов и их СПМ . Поскольку для стационарной линейной системы и при случайных стационарных воздействиях справедливо соотношение (4.38), то ФК выходного стационарного процесса

Можно показать что ФК отклика детерминированной параметрической системы на стационарные входные воздействия определяется формулой

т.е. в данном случае выходной процесс, вообще говоря, нестационарен.

Пример. Линейный канал осуществляет переменную во времени задержку входного стационарного случайного процесса Найти функцию корреляции

Передаточная функция канала , а корреляционная функция выходного процесса Если (например, доплеровское смещение частоты, когда радиальная составляющая скорости взаимного перемещения передатчика и приёмника), то т. е. в этом случае выходной процесс стационарен, а его спектральная плотность мощности