4.6. МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ, ЗАДАННЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИМИ

Рассмотрим другой подход к построению математических моделей каналов (сигналов), который частично был затронут в гл. 2. Выше соотношения между входным и выходным сигналами задавались интегральными преобразованиями (например, интегралом Дюамеля). При этом для нахождения выходного сигнала требуется знать помимо характеристик цепи (канала) также входной сигнал, действовавший на всем промежутке его существования до текущего момента

Во многих случаях более гибким является такое описание, при котором вся предыстория до некоторого фиксированного момента времени заменятся заданием некоторого начального состояния цепи. Зная характеристику цепи

Рис. 4.6. Последовательный колебательный контур

(канала), начальное состояние и сигнал, действующий только на промежутке от до можно последовательно определить как сигнал на выходе, так и новое состояние цепи в любой момент времени

Подобный подход известен из теории дифференциальных уравнений, в которой искомая функция определяется как самим уравнением, так и определёнными начальными условиями, число которых равно порядку уравнения. Излагаемый здесь метод переменных состояния иллюстрируется примерами систем, описываемых с помощью линейных дифференциальных уравнений.

Множество величин, однозначно определяющих поведение систем в некоторый момент содержащее минимальное число элементов называют состоянием, а сами элементы этого множества — переменными состояния. Каждую из этих переменных обычно рассматривают Как составляющую -мерного вектора состояний. Для любой заданной системы можно составить два уравнения, позволяющих по состоянию в момент и сигналу, поступающему на вход, найти состояние в момент и выходной сигнал. Первое из них называется уравнением состояния, а второе — уравнением наблюдения.

Для иллюстрации основных положений метода переменных состояния рассмотрим простой пример — линейную RLС-цепь (рис. 4.6), в которой выходное напряжение связано с входным напряжением дифференциальным уравнением

где

Состояние этой цепи в любой момент времени характеризуется двумя параметрами: током, протекающим через индуктивность и падением напряжения на емкости С. Значения содержат достаточную информацию о предыстории цепи, связанной с прошлыми воздействиями которая необходима для определения будущих значений выходного процесса при заданных воздействиях Таким образом, можно интерпретировать как переменные состояния, а дифференциальное уравнение (4.56) — как уравнение состояния, которое обычно приводят к форме векторного дифференциального уравнения первого порядка. При замене переменных

уравнение (4.56) эквивалентно системе дифференциальных уравнений первого порядка:

[которая с учётом правил векторно-матричных преобразований допускает компактное представление

где этом Уравнение наблюдения имеет вид (4.57) или в векторной форме

Заметим, что выбранный вектор состояния не является единственно возможным. Любое обратимое линейное преобразование вектора приводит к другому вектору состояния.

Важной особенностью метода переменных состояния является возможность непосредственного моделирования систем, описываемых уравнениями состояния с помощью аналогового или цифрового вычислительного устройства. На рис. 4.7 показана модель системы уравнений (4.58). При построении такой схемы удобно рассуждать следующим образом. Пусть в некоторых точках присутствуют входной сигнал и переменные состояния Соединим эти точки сумматорами, усилителями и интеграторами так, чтобы соотношения между ними соответствовали уравнениям (4.58). Из первого уравнения следует, что, подав на вход интегратора получим с точностью до постоянной Эта постоянная определяется начальным условием и равна Затем осуществляют операции, записанные в правой части второго уравнения: умножим на на (с помощью усилителей с соответствующими коэффициентами усиления) и сложим полученные результаты с учетом знаков. Проинтегрировав полученную сумму и прибавив к ней постоянную (начальное условие), получим Таким образом, все точки в схеме соединились в соответствии с уравнениями (4.58) (или (4.59)).

Если на такую схему-модель подать входной сигнал то на выходе получится выходной сигнал Однако это не представляет большого интереса, поскольку то же самое можно сделать без моделирования, исследуя экспериментально исходную систему (в данном случае рис. 4.6). Значительно важнее то, что с помощью модели, можно решить обратную задачу — по выходному (наблюдаемому) сигналу найти входной, даже если выходной сигнал наблюдается на фоне шума (см. гл. 8).

В более общем случае аналогичные матричные уравнения в форме (4.59) и (4.60) можно построить для систем более высокого порядка, в том числе нелинейных и с переменными параметрами. Отличие будет лишь в размерности матриц и в том, что они могут быть

Рис. 4.7. Моделирование уравнений состояния линейной системы 2-го порядка (последовательного колебательного контура)

функциями времени (для систем с переменными параметрами) и состояния (для нелинейных цепей). Если на систему воздействует несколько входных и несколько выходных сигналов, то их также рассматривают как компоненты вектор-функции. В самом общем случае уравнения состояния и наблюдения процесса принимают в векторной форме следующий вид:

где шум наблюдения. Каждое из матричных уравнений представляет в сущности, систему дифференциальных уравнений, число которых для уравнений состояния равно количеству переменных состояния (порядку системы), а для уравнения наблюдения — количеству выходов системы.

Одно из приложений метода переменных состояния связано с возможностью конструктивного описания случайных процессов. Оно состоит в том, что случайный процесс с заданными вероятностными характеристиками представляют как выход некоторой динамической системы, возбуждаемой другим случайным процессом (вообще говоря, многомерным) с более простой вероятностной структурой Обычно в качестве порождающего используют стационарный гауссовский процесс типа белого шума с нулевым средним и корреляционной функцией

где симметричная, неотрицательно определённая матрица.

Пусть случайный процесс удовлетворяющий (4.63), воздействует на схему, описываемую (4.61) и (4.62), где некоторые функции удовлетворяют условиям непрерывности и ограниченности. Тогда процессы а также являются марковскими, переходные плотности вероятностей которых подчинены соответствующим дифференциальным уравнениям в частных производных Колмогорова-Фоккера-Планка (см. (2.99)). Если гауссовский порождающий процесс воздействует на линейную систему, то и выходной процесс будет гауссовским. Он будет также стационарным, если формирующая система является линейной с постоянными параметрами. Распределение вероятностей процесса будет негауссовским, если он сформирован нелинейной системой. В частности, если на вход цепи рис. 2.37, б поступает БГШ, то выходной процесс будет марковский гауссовский процесс с корреляционной функцией (2.150).

Метод переменных состояния с успехом применяют и для описания стохастических цепей (каналов) со случайно изменяющимися параметрами. Для этого некоторые элементы системных функций (матриц) следует рассматривать как случайные функции. Этот метод даёт универсальный подход для моделирования (в рамках весьма широкой марковской модели) каналов передачи информации (систем связи) для самых различных сообщений, способов кодирования и модуляции (как линейной, так и нелинейной), линии связи с детерминированными и случайными параметрами, рассеянием сигналов, аддитивными шумами (как гауссовскими, так и негауссовскими). Более

существенно то обстоятельство, что, представляя наблюдаемые (анализируемые в месте приёма) случайные марковские процессы с помощью дифференциальных уравнений, как уже отмечалось, можно решить обратную задачу, т.е. получить дифференциальные уравнения для оценки сообщений, заключённых в этих процессах. Такие оценки, получаемые с помощью аналоговой или цифровой техники, найти значительно проще, чем оценки, вытекающие из интегральных уравнений (см. гл. 8).