Распределение Пуассона.

В ряде телекоммуникационных задач мы встречаемся со случайным точечным процессом (потоком), который представляет собой последовательность точек, расположенных случайным образом, например, на оси времени. Такие точки могут соответствовать различным событиям, например моментам времени поступления заявок на обслуживание, моментам времени наступления отказов в какой-либо системе и др. С точечным случайным потоком мы встречаемся и в задаче распределения вызовов на телефонной станции в течение суток (рис. 2.21). Общее число вызовов в течение суток - величина случайная. Для каждого временного интервала путём наблюдений можно установить среднее число вызовов (математическое ожидание). Коэффициент пропорциональности характеризует интенсивность вызовов (среднее число вызовов в единицу времени). Вероятность появления к вызовов на интервале чаще всего определяется формулой Пуассона

Рис. 2.21. Появление вызовов в случайных точках интервала

Из (2.76) видно, что вероятность появления на этом интервале 0 вызовов (вероятность отсутствия вызовов)

Докажем эти формулы. Разобьём единичный интервал времени (например, 1 секунду) на подынтервалов величины будем считать, что в пределах малого интервала определённой вероятностью появляется лишь один вызов (вероятность появления более одного вызова пренебрежимо мала), а вызовы на отдельных интервалах появляются

независимо. Тогда имеем независимых опытов, и по определению Вероятность отсутствия вызова на интервале равна

Пусть это вероятность не иметь вызовов на интервале Тогда вероятность не иметь вызовов на интервале равна вероятности совместного события: нет вызовов на интервале и нет вызовов на интервале

Выражение (2.78) можно записать Устремляя получаем дифференциальное уравнение

Начальное условие Решение уравнения (2.79) приводит к (2.77). Аналогичными рассуждениями найдём вероятность получения вызовов на интервале Пусть вероятность появления к вызовов на интервале Тогда вероятность получения к вызовов на интервале равна Устремляя получаем дифференциальное уравнение

с начальным условием Выражение (2.76) и является решением уравнения (2.80). На рис 2.22 дана зависимость от к при заданном параметре

Экспоненциальное распределение. Оказывается, что для случайных точечных процессов с пуассоновским распределением (2.76) величина представляющая собой интервал между вызовами описывается экспоненциальным распределением с ПВ (рис 2.23, а):

а ИФР при этом имеет вид (рис. 2.23,б)

С помощью формул (2.81) и (2.82) можно найти, например, вероятность того, что интервал между соседними вызовами окажется равным или меньше некоторого значения Аналогичные формулы используются при определении интервала между двумя отказами (неисправностями) в работе аппаратуры. Обширные сведения об ИФР и можно найти в литературе по статистической радиотехнике, например в [18, 22].