ГЛАВА 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДУЛЯЦИИ И ДЕТЕКТИРОВАНИЯ

3.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ В ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Как следует из гл. 1, в системе электрической связи имеют место различные преобразования сигналов. Одним из важнейших преобразований является модуляция — изменение параметров некоторого переносчика ("несущей") по закону первичного сигнала Так образуется сигнал на выходе модулятора который способен передаваться по данной линии связи. Проходя от модулятора передатчика до детектора приёмника, сигнал претерпевает различные изменения (обусловленные, главным образом, полосовой фильтрацией в выходных каскадах передатчика и входных каскадах приёмника, а также изменениями в линии связи (см. гл. и превращается в сигнал на входе детектора Из анализируемого колебания аддитивный шум в канале) надлежит получить оценку

Преобразование сигналов в модуляторе и детекторе связано с трансформацией спектра входного сигнала, т.е. появлением в выходном продукте частотных составляющих, которых нет на входе. Действительно, спектры сигналов находятся в области низких частот, в то время как спектры сигналов являются полосовыми в границах от до причём верхняя частота в спектре первичного сигнала.

В системах электрической связи встречаются и другие преобразования сигналов, связанные с трансформацией спектра. К ним относятся:

а) генерация сигналов определённой формы, например гармонических с частотой используемых в качестве несущих при модуляции. Поскольку генератор питается за счёт источника постоянного тока (напряжения), здесь имеет место типичная ситуация с трансформацией спектра;

б) преобразование частоты. В этом случае сигнал на входе устройства с переменной амплитудой и (или) фазой сосредоточенный по спектру около частоты превращается на выходе устройства в сигнал имеющий ту же форму ( константы), но сосредоточенный по спектру около частоты При преобразовании частоты вверх при преобразовании вниз Преобразование частоты часто используется в современных устройствах при приёме сигналов как с амплитудной, так и угловой модуляцией;

в) умножение и деление частоты, когда входной гармонический сигнал превращается в сигнал где целые числа. Такие устройства часто используются на практике при генерации заданной сетки частот.

Линейные системы с постоянными параметрами (стационарные системы) не могут трансформировать спектр входного сигнала

Действительно, любой входной сигнал можно представить суммой гармонических компонент. Гармоническое же входное колебание является собственной функцией системного оператора линейной стационарной

системы, т.е. таким входным колебанием, которое на выходе не меняет свою форму: собственное значение оператора. На самом деле, согласно интегралу Дюамеля при заданной импульсной характеристике системы гл. 4):

Таким образом, собственным значением системного оператора является комплексное число которое определяет частотную характеристику системы (см. гл. 4).

Для трансформации спектра можно использовать или линейную систему с переменными параметрами (параметрическую систему), или нелинейную систему. Ограничим анализ параметрической системой нулевого порядка (без реактивностей) и нелинейной системой нулевого порядка. На рис. 3.1 изображён резистивный параметрический двухполюсник. Пусть входное напряжение меняется по гармоническому закону с частотой а параметрическая проводимость (крутизна характеристики) меняется по гармоническому закону с частотой управления Согласно закону Ома ток в цепи

Воспользовавшись известной из тригонометрии формулой

получаем

Таким образом, ток (выходной сигнал) содержит компоненты на частотах которых нет во входном сигнале, т.е. произошла трансформация спектра. Полезные (при решении тех или иных задач) частотные составляющие тока выделяются линейной фильтрацией.

На практике параметрический резистивный элемент получают путём внешнего управления нелинейным сопротивлением. Рассмотрим нелинейный резистивный двухполюсник с вольт-амперной характеристикой (рис. 3.2), на который действуют напряжения сигнала и управления Ток в нелинейной цепи

Предположим, что сигнал управления существенно превышает входной сигнал.

Разлагая (3.2) в ряд Тейлора по малому сигналу и удерживая два члена рада, получаем

Рис. 3.1. Параметрическая система нулевого порядка

Рис. 3.2. Нелинейный резистивный двухполюсник под воздействием двух напряжений

Рис. 3.3. Схема перемножения двух сигналов

Рис. 3.4. Графическое изображение вольт-амперной характеристики входного переменного напряжения в рабочей точке (координаты и изменения тока во времени Обозначим через дифференциальную крутизну нелинейного резистора в точке Тогда сигнальная составляющая тока

Следовательно, описанным образом можно реализовать цепь с параметрическим сопротивлением

Согласно (3.3) параметрический резистивный (безынерционный) элемент функционирует как перемножитель входного сигнала и управляющего колебания что показано на рис. 3.3. Знаком обозначен блок, осуществляющий перемножение двух сигналов. Через обозначен блок, осуществляющий фильтрацию для выделения полезного выходного сигнала.

Рассмотрим нелинейную схему рис. 3.2 при произвольных соотношениях сигналов Вольтамперную характеристику нелинейного (см. рис. 3.4, а) очень часто аппроксимируют (относительно рабочей точки, определяемой напряжением смещения полиномом степени:

Чем выше степень полинома тем точнее (в заданных пределах изменения входного напряжения) можно описать изменение тока. При малых переменных входных напряжениях (3.4) можно ограничиться квадратичной аппроксимацией.

Предположим, что (см. рис. 3.4, б)

(гармоническое воздействие). Тогда, воспользовавшись формулами кратных дуг

получим для тока (рис 3.4,в), содержащего гармоники входного воздействия, выражение

где постоянная составляющая тока

2 амплитуда первой гармоники амплитуда второй гармоники амплитуда третьей гармоники и т.д.

Предположим, что

(бигармоническое воздействие). Тогда, воспользовавшись формулами (3.1), (3.5) и формулой бинома Ньютона

можно видеть, что при бигармоническом воздействии в составе тока имеются частоты Гармоники частоты соответствуют значениям гармоники частоты значениям Частоты, получаемые при значениях не равных нулю одновременно, называют комбинационными. При этом число называют порядком комбинационной частоты.

Очень часто при исследовании схем с нелинейными элементами при гармонических воздействиях с большими амплитудами ВАХ аппроксимируют ломаной линией (кусочно-линейная аппроксимация (см. рис. 3.5)). Аналитическая запись для ломаной прямой имеет вид

Рис. 3.5. Аппроксимация нелинейного элемента ломаной прямой

где напряжение смещения, определяющее рабочую точку; напряжение отсечки. График тока имеет вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Под углом отсечки имеют в виду безразмерное время в пределах которого ток меняется от максимума до нуля или в пределах которого входное напряжение меняется от максимального значения до Следовательно, можно написать Откуда

Угол отсечки может принимать значения от нуля (ток не проходит) до (линейный режим работы схемы). При имеем (проходят положительные полупериоды входного сигнала). Постоянная составляющая тока определяется формулой

Вводя безразмерную переменную имеем

Вводя коэффициент называемый коэффициентом Берга [1] для постоянной составляющей, можно написать

С учётом (3.7) и (3.8) получаем формулу для максимального значения тока:

Тогда

где Если в ходе исследования фиксируются и 6, то для расчётов используется формула (3.9); если фиксируются используется формула (3.10).

Аналогично находим амплитуду первой гармоники тока: 1 6

где Для гармоники тока (при ) имеем 1 6

где коэффициенты Берга

по гармонике.

Отметим, что для часто используемого режима имеем

При приближённом расчёте постоянной составляющей тока первой гармоники и второй гармоники для произвольных нелинейных характеристик пользуются методом трёх ординат. В этом случае задают три точки на нелинейной характеристике (см. рис. 3.4):

максимальное значение тока минимальное значение тока и среднее значение тока (полученное при отсутствии переменного воздействия на входе). Расчётные значения получим, воспользовавшись приближением

Из рис. 3.4 видно, что точку получим при Тогда из (3.13) следует

Точку получим при со Тогда из (3.13)

Точку получим при Из (3.13) следует

Решая совместно уравнения получаем

Эти формулы дают точные значения амплитуд гармоник, если точна аппроксимации полиномом второй степени.

В технике связи посредством нелинейных схем часто решается задача умножения частоты (например, для получения высокостабильных гармонических колебаний высокой частоты при наличии высокостабильного гармонического сигнала частоты

Рассмотрим умножитель частоты на биполярном транзисторе (рис. 3.6). В цепь базы помимо постоянного смещения подано гармоническое колебание

Резонансный контур в цепи коллектора настроен на частоту Пусть амплитуда достаточно большая для того, чтобы можно было пользоваться кусочно-линейной аппроксимацией характеристики Тогда гармоника тока коллектора

Коэффициенты Берга были введены выше. Для максимизации надо при заданном параметре найти такой оптимальный угол отсечки который максимизирует коэффициент Из полученных выше соотношений следует

Значит, для умножения частоты в 2 и 3 раза в оговоренных условиях надо выбрать угол отсечки соответственно Для выходных каскадов передатчика, где желательно поддерживать максимальный импульс оптимальный угол отсечки 6 надо найти из условия максимизации . В этом случае для можно найти приближённую формулу

Значит, для умножения частоты в 2 и 3 раза при надо выбирать угол отсечки Получить существенное значение при затруднительно, поэтому для увеличения кратности умножения частоты прибегают к последовательному соединению отдельных каскадов умножения. Если амплитуда входного

Рис. 3.6. Нелинейная схема умножения частоты

гармонического сигнала мала, характеристику следует аппроксимировать полиномом второй степени, что означает, что в этом случае можно получить лишь умножение частоты в 2 раза.

Если резонансный контур в схеме рис. 3.6 настроен на частоту схема работает в режиме резонансного усиления. Нелинейный режим резонансного усиления энергетически более выгоден, чем режим линейного усиления что имеет особое значение для мощных выходных каскадов передатчика.

Определим коэффициент полезного действия каскада усиления как отношение средней мощности полезного продукта (первой гармоники) к мощности, потребляемой схемой

Коэффициент использования напряжения источника питания — Тогда

При заданной амплитуде усиливаемого сигнала в цепи базы

Анализ показывает, что эта величина тем ближе к , чем меньше 6. При часто используемом нелинейном режиме имеем При линейном режиме усиления