10.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Это преобразование можно получить из преобразования Лапласа или Фурье дискретного сигнала

Определим одностороннее преобразование Лапласа (для сигналов, определённых при для дискретного сигнала (10.1):

При из (10.31) следует преобразование Фурье дискретного сигнала.

Если обозначить

то преобразование Лапласа (10.31) переходит в z-преобразование дискретного сигнала

Очевидно, что из преобразования Фурье дискретного сигнала при

следует также z-преобразование

Справедливо и обратное утверждение: из z-преобразования дискретного сигнала (10.33) при следует его преобразование Лапласа. (Или из при следует преобразование Фурье сигнала).

Если дискретный сигнал определён и при то вместо (10.33) можно ввести более общее z-преобразование для такого сигнала:

Следует оговорить сходимость при неограниченном числе слагаемых в сумме (10.33). Отсчёты всегда удовлетворяют условию где постоянные вещественные числа. Тогда ряд (10.33) сходится при всех для которых в кольцевой области с радиусом радиус сходимости). В области сходимости представляет собой аналитическую функцию переменной не имеющую в этой области ни полюсов, ни существенно особых точек.

Пример. Пусть (т.е. имеем отсчёты сигнала Тогда При сумма определяет бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем Тогда

Эта функция имеет нуль в точке и полюс в точке т.е. вне области сходимости.

Для нахождения по (обратного z-преобразования) умножим левую и правую часть (10.33) на

Возьмём от левой и правой части (10.36) интеграл по z по замкнутому контуру в области аналитичности, охватывающей все полюсы функции

Получим результат

Он следует, если при интегрировании левой части (10.36) использовать соотношение (вытекающее из теоремы Коши при интегрировании функций комплексного переменного ):

Важное свойство z-преобразования связано со сдвигом сигнала во времени:

Таким образом, z-преобразование дискретного сигнала у которого все отсчёты смещены на один такт (в строну запаздывания) относительно дискретного сигнала равно произведению на Можно сказать, что является оператором сдвига (на один такт в сторону запаздывания). Для доказательства (10.39) запишем z-преобразование последовательности

Вводя переменную из (10.40) получим (10.39). Очевидно, если то

Рассмотрим дискретную свёртку

Найдем z-преобразование этой свертки:

Таким образом, свёртка двух дискретных сигналов соответствует произведению их z-преобразований.

Покажем, что импульсная характеристика является его откликом на единичный импульс ( Действительно, при воздействии единичного импульса (10.41) принимает вид

Если импульсная характеристика ЦФ финитна, то

где число тактовых отрезков на интервале финитности.

Рассмотрим прохождение через линейный ЦФ гармонической последовательности, когда

Согласно формуле свёртки (10.41) с учётом (10.45) находим выходной сигнал:

Введём под знаком суммы новый индекс суммирования и учтём, что из соображений реализуемости при Тогда

где

Последняя формула определяет частотную характеристику (ЧХ или передаточную функцию) ЦФ, которая зависит от частоты шага дискретизации и импульсной характеристики ЦФ:

является преобразованием Фурье дискретного сигнала (10.48).

Как следует из (10.47), ЧХ ЦФ является периодической функцией частоты дискретизации (как и спектр дискретного сигнала).

Если в (10.47) ввести переменную то получим z-преобразование импульсной характеристики ЦФ:

H(z) называют системной функцией стационарного линейного ЦФ.

Из (10.42) при замене на видно, что системная функция ЦФ определяется как отношение z-преобразования выходного сигнала фильтра к z-преобразованию входного сигнала:

Если в системной функции ЦФ положить получим