2.7. ОГИБАЮЩАЯ И ФАЗА СИГНАЛА. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ. КВАДРАТУРНЫЕ КОМПОНЕНТЫ УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА

Для многих практических приложений бывает полезно представить сигнал в виде процесса с изменяющейся амплитудой (огибающей) и полной фазой

Так, при амплитудной модуляции информация закладывается в при угловой — в Представление (2.103) в общем случае неоднозначно, т.е. один и тот же сигнал может быть представлен бесконечным множеством пар Из каждой такой пары может быть образован новый сигнал в некотором смысле сопряжённый с сигналом Очевидно, что Комплексный сигнал

является удобным отображением вещественного сигнала .

Из соотношения не следует (при произвольных функциях что амплитудные спектры одинаковы, а фазовые спектры различаются сдвигом на

Представим сигнап (без постоянной составляющей) в виде конечной или бесконечной суммы гармонических составляющих:

и потребуем, чтобы в сопряжённом с ним сигнале все частотные составляющие имели те же амплитуды о, но фазы получили сдвиг

Рис. 2.29. Преобразователь Гильберта

Из сопоставления (2.104) и (2.105) вытекает, что в области положительных частой спектры сигналов различаются множителем а в области отрицательных частот — множителем Процесс называют сигналом, сопряжённым по Гильберту с Передаточная функция цепи, преобразующей (т.е. преобразователя Гильберта см. рис. 2.29), имеет вид

где знаковая функция.

Импульсная характеристика цепи определяется обратным преобразованием Фурье от

Итак, импульсная характеристика

Спектральная плотность для сопряжённого сигнала связана со спектром Фурье сигнала соотношением

Выражение (2.108) можно записать и так: Отсюда следует, что передаточная функция или импульсная характеристика цепи, выдающей на своем выходе сигнал при подаче ко входу (цепи, осуществляющей обратное преобразование Гильберта) обратны по знаку характеристи

кам, указанным на рис. 2.29. Отклик линейного стационарного можно определить как свёртку функций x(t) и g(t) (см. гл. 4):

Аналогично

(2.109) называют прямым, обратным преобразованием Гильберта. Совместно их называют парой преобразований Гильберта.

Отметим, что для произвольных сигналов преобразование Гильберта (2.109) (также обратное преобразование Гильберта (2.110) нереализуемо, так как оно требует импульсную характеристику цепи, определённую не только при но при (см. 2.107). Как будет показано в гл. 4, для реализуемой цепи при Если всё же таких сигналов необходимо, его реализуют приближённо, с некоторой задержкой заведомо отбрасывая ветви располагающиеся левее точки и правее точки Задержка сигнала должна быть учтена в других устройствах, работающих синхронно с Следует отметить, что погрешность преобразования, связанная с усечением импульсной характеристики может оказаться недопустимо большой. легко реализуется, если сигнал можно представить через узкополосные квадратурные компоненты (см. ниже).

Комплексный сигнал полученный на основе называется аналитическим. Рассмотрим его основные свойства.

1. Аналитический сигнал является естественным обобщением комплексного представления гармонического сигнала на случай сигнала общего вида. В самом деле, если то

При этом полная фаза а мгновенная частота

2. В спектре аналитического сигнала содержатся только положительные частоты. Действительно, из (2.104) и (2.105) видно, что

В общем случае, когда спектр сигнала сплошной, имеем с учётом (2.108)

Аналогично в спектре комплексно-сопряжённого аналитического сигнала содержатся только отрицательные частоты:

3. Скалярное произведение сигналов равно нулю (сигналы ортогональны):

4. При общем фазовом сдвиге всех частотных компонент сигнала на угол 6 аналитический сигнал умножается на . В этом легко убедиться, добавив в (2.111) в каждом слагаемом общий фазовый сдвиг

Из (2.115) естественным образом вытекает алгоритм общего фазового сдвига всех частотных компонент вещественного сигнала

5. Преобразование частоты (транспонирование спектра, см. сигнала сводится к умножению аналитического сигнала на где величина частотного сдвига. Это видно из (2.111):

Из (2.117) вытекает алгоритм транспонирования спектра вещественного сигнала

Алгоритм (2.117) используется при фазобалансном методе однополосной модуляции (когда частота несущей), при коррекции частотных сдвигов, обусловленных неточным сопряжением синтезаторов частот на передаче и на приёме или доплеровскими сдвигами (тогда мало), и при демодуляции сигнала (тогда Вопросы однополосной модуляции и демодуляции мы рассмотрим в гл. 3.

Операции, связанные с становятся реализуемыми и существенно упрощаются, если сигнал можно представить через квадратурные компоненты при заданной частоте (обычно в спектре сигнала)

причём верхняя частота в спектре сигналов

Условие (2.120) будем называть условием "узкополосности в расширенном смысле". Чаще всего канальные сигналы в системах связи обладают свойством узкополосности

Это означает, что квадратурные компоненты меняются медленно (по сравнению с или с и сигнал (2.119) имеет вид квазигармонического сигнала (рис. 2.30). Именно в этом случае обработка сигнала (через обработку низкочастотных квадратурных компонент) технически проще и реализуется точнее.

Очевидно, что (2.119) можно записать

Рис. 2.30. Характерный вид узкополосного процесса (сигнала)

Рис. 2.31. Геометрическое представление аналитического сигнала с переменной огибающей и переменной мгновенной частотой

- комплексная амплитуда. Поскольку умножение на означает перенос спектра сигнала вверх на величину то очевидно, что при выполнении условия (2.120) спектр сигнала содержит только положительные частоты и может рассматриваться как аналитический. Тогда сопряжённый по Гильберту сигнал

Из сравнения (2.119) и (2.122) видно, что преобразование Гильберта сигнала

а преобразование Гильберта сигнала

Формально (2.123) и (2.124) можно интерпретировать так, что преобразование Гильберта осуществляется над и

при неизменности и

Из (2.119) и (2.122) видно, что огибающая сигнала

а полная фаза

Мгновенная частота сигната (скорость изменения фазы)

На комплексной плоскости (рис. 2.31) аналитический сигнал в общем случае отображается вращающимся вектором с переменной длиной Его угловая скорость вращения меняется во времени.

При представлении узкополосного в расширенном смысле сигнала через квадратурные компоненты алгоритм (2.116) реализуется достаточно просто:

с ростом функция непрерывно возрастает). После интегрирования следует результат

Формула (2.137) выражает обобщённый закон Рэлея или закон Раиса.

Узкополосный случайный процесс с регулярной частью (с отличным от нуля можно представить, как

Отсюда видно, что амплитуда регулярной части сигнала

С учётом (2.139) представим распределение Райса

Эта зависимость при различных параметрах — дана на рис 2.33, а. Одномерную плотность вероятности фазы получим, интегрируя (2 135) по всевозможным значениям А (от 0 до Следует результат

График этой функции дан на рис. 2.33, б при различных параметрах При отсутствии регулярной части сигнала учитывая, что получаем из (2.140) рэлеевское распределение амплитуды

Фаза сигнала в этом случае имеет равномерное распределение

От (2.141) часто переходят к распределению безразмерной величины Из условия находим рэлеевское распределение для нормированной амплитуды

Распределение (2.143) дано на рис. 2.34. МО огибающей, распределённой по Рэлею (2.141)

Рис. 2.33. Распределение амплитуд и фаз (б) райсовского вектора

Рис. 2.34. Распределение амплитуды безразмерного рэлеевского вектора

Рис. 2.35. Графики СПМ (а) узкопопосного квазибелого шума на положительных частотах и (б) низкочастотного квазибелого шума

Рис. 2.36. Вид функции корреляции узкополосного квазибелого шума

Среднее значение квадрата огибающей Дисперсия рэлеевской огибающей (средняя мощность флуктуации)