5.5. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ОПТИМАЛЬНОГО КОГЕРЕНТНОГО ПРИЁМА

Определим потенциальную помехоустойчивость для двоичной системы с аддитивным БГШ в канале, когда при приёме точно известны оба ожидаемых сигнала: полагая, что априорные вероятности этих сигналов одинаковы Приходящий сигнал является случайным, так как, во-первых, заранее не известна реализация передаваемого сигнала, во-вторых, он содержит случайную помеху

В этом случае согласно (5.26) алгоритм оптимального приёма

При выполнении неравенства (5.44) оптимальный приёмник регистрирует символ 1, соответствующий сигналу в противном случае — символ , соответствующий сигналу Если действительно передаётся символ 1, то При этом вероятность ошибки определяется вероятностью того, что неравенство (5.44) не выполнено, т.е. вероятностью выполнения обратного неравенства

которое легко привести к следующему виду:

Аналогичное соотношение получается, если предположить, что передаётся символ . Следовательно, в обоих случаях вероятности ошибки и сформированный модемом двоичный дискретный канал симметричен.

Запишем (5.45) в виде

где Если нормальный стационарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности то нормально распределённая величина (так как она определяется линейной операцией над нормальным же случайным процессом). Её математическое ожидание

а дисперсия

Поэтому вероятность выполнения неравенства (5.46), т.е. вероятность ошибки,

где произведена замена переменной и введено обозначение

Функция табулирована и называется дополнительной функцией ошибок". Через -функцию можно (5.47) записать в виде

При заданной интенсивности помехи потенциальная помехоустойчивость двоичной системы зависит только от так называемой эквивалентной энергии сигналов

которая равна квадрату расстояния между сигнальными точками в пространстве Гильберта. Помехоустойчивость выше (вероятность ошибки меньше) у той системы, у которой больше эквивалентная энергия используемых сигналов, независимо от формы используемых сигналов. Последние, в частности, могут быть как простыми (отрезками синусоиды с малой базой), так и сложными (шумоподобными, с большой базой).

На рис. 5.12 в двумерном пространстве показаны точки сигналов для двоичной системы: рис. 5.12, а — АМ при рис. 5.12, б - ЧМ с ортогональными сигналами рис. 5.12, в — ФМ с противоположными сигналами

Из рисунка видно, что по сравнению с двоичной АМ для двоичной ЧМ

Рис. 5.12. К определению эквивалентной энергии двоичных систем

эквивалентная энергия сигнала в 2 раза больше, а для двоичной в 4 раза больше.

Соотношение (5.50) позволяет осуществлять оптимальный выбор сигналов или соответственно обеспечивающих максимально возможную помехоустойчивость при заданной энергии сигналов . В самом деле, для такой оптимальной системы величина должна быть максимальной при условии, что

Можно написать Для получения максимума этого выражения нужно сделать возможно большими, а интеграл в правой части — как можно меньшим. Максимально возможные значения получатся, если, учитывая условия (5.51), положить

Интеграл принимает только неотрицательные значения, поэтому его минимум равен нулю и достигается при условии которое не противоречит условию (5.52). Таким образом, в двоичном канале с постоянными параметрами и аддитивным БГШ оптимальной оказывается система с противоположными сигналами. Этому условию удовлетворяют, например, двуполярные импульсы, сигналы двоичной фазовой модуляции если разность фаз сигналов и т. п.

Для всех таких систем и вероятность ошибки

где отношение энергии сигнала на входе демодулятора к спектральной плотности мощности флуктуационной помехи.

Для системы с ортогональными сигналами равной энергии (например, при известных условиях для системы двоичной ЧМ), когда и минимальная вероятность ошибки

Сравнивая (5.54) и (5.55), приходим к выводу, что переход от системы с ортогональными сигналами к системе с оптимальными (противоположными) сигналами позволяет в рассматриваемом канале обеспечить неизменное качество связи (вероятность ошибки) при понижении средней мощности передатчика в 2 раза, т.е. даёт энергетический выигрыш в 2 раза (или на 3 дБ). Этот вывод следует также из рис. 5.12.

В двоичной системе с пассивной паузой, полагая получаем для минимальной вероятности ошибки

Отсюда видно, что при переходе от системы АМ к системе ЧМ энергетический выигрыш по максимальной мощности равен 2, а при переходе к системе Если же сравнение вести не по пиковой, а по средней мощности, то переход от АМ к ЧМ не даёт энергетического выигрыша, поскольку при ЧМ средняя мощность равна максимальной, а при вдвое меньше максимальной (если ) и передаются с одинаковой вероятностью).

Тем не менее, когда в начале 40-х годов в радиосвязи стали применять ЧМ, помехоустойчивость значительно возросла по сравнению с ранее используемой системой АМ. Это объясняется не увеличением потенциальной помехоустойчивости, которая для обеих систем одинакова (при равной скорости передачи и средней мощности передатчика), а главным образом тем, что оптимальная решающая схема для ЧМ реализуется с довольно большой точностью, а при АМ этому препятствует невозможность обеспечить точное оптимальное значение ненулевого порогового уровня (см. рис. 5.3, б). Поэтому реальная помехоустойчивость при ЧМ близка к потенциальной, а при АМ значительно ниже её.

Система ФМ, как и другие системы с противоположными сигналами, обеспечивает максимальную для двоичной системы потенциальную помехоустойчивость. Однако реализация демодулятора для когерентного приёма ФМ встречает определённые трудности. При построении демодулятора с активным фильтром (см. рис. 5.3, б) возникает проблема поддержания равенства фаз опорного генератора и приходящего сигнала. Если пытаться строить его на основе согласованного фильтра (см. рис. 5.8), то возникает не менее трудная задача взятия когерентного отсчёта.

В практических схемах опорный сигнал формируется из принимаемого колебания. Для этого необходимо по принимаемому сигналу восстановить немодулированный гармонический сигнал

Задача выделения опорного сигнала особенно затрудняется при ФМ, так как если элементы передаются равновероятно, то спектр сигнала ФМ вообще не содержит составляющей на частоте Для его получения приходится использовать нелинейные устройства снятия модуляции. Это достигается различными схемами, например схемой, предложенной А.А. Пистолькорсом. Схема содержит умножитель частоты на 2, выходной сигнал которого через узкополосный фильтр, настроенный на частоту поступает на делитель частоты на 2. Если сигнал на входе умножителя записать в виде или то сигнал на выходе умножителя а сигнал на выходе делителя

Однако все схемы формирования опорного сигнала таковы, что вследствие различных неконтролируемых факторов возможны случайные изменения знака опорного сигнала. Это, в частности, относится и к делителю частоты на 2 в схеме А.А. Пистолькорса, поскольку эта операция неоднозначна — фаза выходного сигнала делителя может принять любое из двух значений: или Это означает, что символы, регистрируемые на выходе приёмника, даже при отсутствии аддитивной помехи в канале после случайного перескока фазы опорного сигнала инвертируются (нули будут записаны как как 0). Это будет продолжаться до следующего перескока фазы опорного сигнала. Возникает так называемое явление обратной работы, вследствие которого практическое внедрение системы с двоичной фазовой модуляцией оказалось затруднительным.

Эффективный метод устранения этого явления был найден путём перехода к относительным методам модуляции, предложенным Н.Т. Петровичем. Они сводятся к модуляции информационного параметра передаваемой посылки элемента сигнала относительно того же параметра предшествующей посылки. При относительной фазовой манипуляции (ОФМ) сообщение содержится не в абсолютном значении фазы элемента сигнала, а в разности фаз двух соседних элементов, при этом символ 1 передаётся повторением той реализации сигнала, которая имела место в качестве предыдущего элемента, а символ 0 — реализацией с обратной фазой, либо наоборот.

Сигналы ОФМ могут приниматься различными методами. Здесь рассмотрим квазикогерентный приём сигналов ОФМ (называемый методом сравнения полярностей). Заметим сначала, что систему ОФМ можно рассматривать как обычную систему с фазовой модуляцией (ФМ), но со специальным перекодированием символов. Это означает, что оптимальный приём сигналов ОФМ можно осуществить, например, схемой рис. 5.3, б, но с перекодированием принятых символов. Перекодирование выполняется сравнением полярностей напряжений на выходе интегратора для двух соседних элементов, для чего, естественно, требуется задержка выходных символов в ячейке памяти (ЯП) на время Такая схема демодулятора показана на рис. 5.13 (без устройства подстройки фазы опорного генератора которое может быть выполнено, например, по схеме Пистолькорса). Так как ОФМ - система с равной энергией отдельных позиций, то пороговый уровень в демодуляторе нулевой — и решающее устройство превращается в дискриминатор полярности (ДП). Полярности соседних элементов сравниваются в схеме сравнения полярностей (ССП). Символ 1 регистрируется на выходе приёмника, например, при совпадении полярностей двух соседних посылок, символ 0 — если эти полярности

Рис. 5.13. Схема оптимального приёма сигналов ОФМ методом сравнения полярностей (когерентный приём)

различны, либо наоборот. При таком методе приёма перескок фазы опорного сигнала (при отсутствии помехи в канале) вызывает ошибку только в одном символе. Последующие же символы регистрируются правильно, т.е. явление "обратной работы" не возникает.

Определим вероятность ошибки в системе ОФМ при учёте флуктуационной помехи в канале при когерентном приёме. Очевидно, что ошибочная регистрация символа при приёме методом сравнения полярностей возможна в результате одного из двух несовместных событий:

а) знак данного элемента принят ошибочно, а знак предыдущего — верно;

б) знак данного элемента принят верно, а знак предыдущего — ошибочно.

Каждое из этих событий имеет вероятность Таким образом,

В нормальных условиях эксплуатации, когда требуется

Таким образом, "платой" за устранение обратной работы является удвоение вероятности ошибки, обусловленной шумом в канале.

Очевидно, что при рассматриваемом методе приёма сигналов ОФМ образующийся дискретный канал является марковским (см. § 2.6). Вероятность ошибки в нём зависит от того, правильно или ошибочно приняты предыдущие символы. Подавляющее большинство ошибок группируется по две.

Для недвоичных систем нахождение вероятности ошибочного приёма в общем случае затрудняется, так как теперь приходится анализировать совокупность из неравенства (5.25).

Вероятность ошибки в -ичной системе при передаче символа , определяется вероятностью объединения событий:

При оптимальном когерентном приёме в канале с БГШ

Для ортогональной системы сигналов с равной энергией (система оказывается также эквидистантной — все сигнальные точки находятся на одинаковом расстоянии друг от друга) вероятность ошибки (одинаковая при передаче любого символа) выражается следующим интегралом [27]:

Согласно (5.57) вероятность ошибки монотонно падает с ростом энергетического параметра При из (5.57) следует (5.54).

В детерминированном неискажающем канале с БГШ оптимальной (обеспечивающей минимальную вероятность ошибки при заданном значении оказывается эквидистантная система [27], сигнальные точки которой образуют многомерный симплекс (они лежат на одинаковом расстоянии друг от друга в -мерной гиперсфере). Вероятность ошибки для этой оптимальной системы сигналов можно в области малых ошибок также определить формулой (5.57).

Учтём, что вероятность объединения событий (в общем случае совместных) равна сумме вероятностей отдельных событий минус вероятности совмещения событий, можно получить простую формулу (аддитивную верхнюю границу для вероятности ошибки или неравенство Буля)

где это вероятность ошибки в двоичной системе с сигналами и

Для систем равновероятных ортогональных сигналов равной энергии канал симметричен и можно оценить вероятность ошибки простым неравенством