8.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ОТДЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА

Задача оценки параметров сигнала возникает во многих практических случаях. Так, часто требуется определить (измерить) частоту или фазу сигнала, оценить амплитуду сигнала при его передаче по каналу и т.д.. В телеметрии и телеуправлении необходимо оценивать большое число параметров, характеризующих состояние объекта. Таким объектом может быть технологический процесс, нефтепровод, летательный аппарат, экипаж и т. п. В этом случае передаваемыми сообщениями являются контролируемые параметры, представляющие собой случайные величины, не зависящие от времени. Модуляция при этом сводится к установлению некоторого параметра X сигнала в соответствии с переданным сообщением, а демодуляция - к выявлению (оценке) этого параметра с возможно большей точностью

В простейшем случае, когда оценивают один параметр сигнала заданной формы, задачу ставят следующим образом. Пусть принимаемое на интервале (0,7) колебание представляет собой аддитивную смесь сигнала зависящего от одного неизвестного параметра X, с шумом

Полагаем, что параметр X имеет постоянное значение на интервале наблюдения (0,7) и известна априорная плотность вероятности этого параметра Требуется определить оператор системы, гарантирующий получение наилучшей оценки параметра и рассчитать точность этой оценки.

Из-за шума в канале и случайного характера параметра X точное измерение его невозможно. Можно лишь указать его приближённую оценку.

Качество оценки параметра, называемой точечной, обычно проверяется на выполнение трёх условий:

— состоятельности, состоящего в том, что оценка X сходится по вероятности к оцениваемому параметру X при неограниченном увеличении времени анализа (или объёма выборки), при При этом, естественно, дисперсия ошибки стремится к нулю:

— несмещённости оценки, состоящего в том, что условное ошибки при всех X должно равняться нулю: или

— эффективности оценки, состоящего в том, что дисперсия ошибки должна, при задан ном времени анализа или объёме выборки быть минимальной в классе всех возможных оценок:

Очевидно, вся информация о переданном параметре (сообщении) X после приёма колебания (8.5) содержится в апостериорном распределении которое согласно формуле Байеса (5.5)

На основании анализа апостериорного распределения (8.6) принимается решение об оценке передаваемого параметра При больших отношениях сигнал-шум апостериорная плотность вероятности имеет наибольший максимум в окрестности истинного значения параметра Это обстоятельство указывает на

то, что в качестве оценки целесообразно взять то значение которое обращает в максимум функцию

Во многих практических случаях априорная плотность вероятности оказывается неизвестной и её полагают равномерной: на всём возможном интервале При этом координата максимума апостериорной вероятности будет совпадать с соответствующей координатой условного распределения которое определяет функцию правдоподобия. В этом случае правило максимума апостериорной плотности вероятности переходит в правило максимального правдоподобия. Здесь оценка параметра X определяется из условия

Оценку параметра, получаемую по этому критерию, называют максимально правдоподобной. Уравнение правдоподобия (8.7) можно записать в эквивалентном виде:

поскольку монотонная функция своего аргумента и, следовательно, корни (8.7) и (8.8) совпадают. Оценка определяется тем корнем уравнения (8.8), который соответствует максимуму функции правдоподобия. Другим весьма распространённым критерием оценки параметров сигнала является оценка по минимуму среднеквадратической ошибки. При этом критерий минимизируется по X:

Оптимальная оценка X находится из условия

После дифференцирования выражения (8.9) по X, с учётом того, что получаем откуда

т.е. оптимальной оценкой параметра является в данном случае математическое ожидание апостериорного распределения.

Критерий среднеквадратической ошибки является частным случаем более общего критерия, когда минимизируется некоторой функции потерь

т. е.

Оценку, минимизирующую эту величину, называют байесовской оценкой, а критерий, основанный на минимизации (8.11), как и в дискретном случае [см. (5.17)], — критерием среднего риска. При критерий минимума

среднего риска (8.11) переходит в критерий среднеквадратической ошибки (8.9). В этом случае байесовская оценка определяется выражением (8.10).

Если симметрична относительно что имеет место при большом отношении сигнал-шум, то критерий максимума апостериорной вероятности и максимума функции правдоподобия совпадает с критерием минимума среднеквадратической ошибки.

Если значение параметра X постоянно на интервале наблюдения и принятое колебание представляет собой аддитивную смесь (8.5) полезного сигнала и со спектральной плотностью то вектор определяющий принимаемое колебание в функциональном пространстве, является случайным гауссовским вектором, среднее значение которого а дисперсия совпадает с дисперсией шума.

Рассуждая так же, как в § 5.3, получаем

где с — постоянный коэффициент, а согласно (8.6) и (8.12)

где k — некоторая постоянная, которая может быть вычислена из условия нормирования Упростим это выражение, преобразовав показатель экспоненты

В правой части этого равенства первый экспоненциальный множитель не зависит от X и его можно включить в постоянную. Второй множитель равен где энергия сигнала. В тех случаях, когда параметр X неэнергетический, т.е. энергия сигнала не зависит от X, этот член также можно включить в постоянную k. При этом условии последнее выражение можно записать так:

где

Нетрудно убедиться, что для сигнала зависящего от нескольких параметров, функция правдоподобия и апостериорная плотность вероятности будут определяться аналогичными выражениями, в которых

Отсюда следует, что при известной априорной плотности вероятности определение апостериорной плотности вероятности сводится к вычислению функции Эта функция с точностью до коэффициента равна скалярному произведению пришедшего сигнала с ожидаемым вариантом сигнала Ее

часто называют корреляционным интегралом. Она определяет те существенные операции, которые нужно выполнить над чтобы извлечь всю доступную информацию о переданном сообщении Оптимальный приёмник максимального правдоподобия воспроизводит то сообщение X, для которого функция максимальна.

Пример. Найти оптимальную оценку коэффициента передачи канала сигнала, прошедшего через канал), полагая, что принимаемый сигнал где точно известно на приёме, а со спектральной плотностью Функция правдоподобия для этого случая согласно (8.12)

Уравнение (8.8) максимального правдоподобия принимает вид

или после преобразований

Отсюда искомая оценка

Измеритель для получения такой оценки может бьггь реализован фильтром, согласованным с сигналом или с эквивалентной корреляционной схемой. Определим качество найденной оценки. Из (8.16) видно, что при погрешность оценки стремится к нулю, т.е. данная оценка является состоятельной, несмещенной (поскольку Она является также эффективной при гауссовском шуме Дисперсия ошибки (имеющая гауссовское распределение) с учётом (5.46а) будет