5.4. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЁМНИК С СОГЛАСОВАННЫМ ФИЛЬТРОМ

Скалярное произведение (5.27) можно вычислить не только с помощью активного фильтра (коррелятора), описанного в предыдущем параграфе, но и с помощью пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами. Если на вход фильтра подать принимаемый сигнал то напряжение на выходе фильтра в момент времени где импульсная характеристика фильтра. Выберем её такой, чтобы в момент получить значение равное скалярному произведению (5.27). Легко видеть, что это будет выполнено при следующем согласовании или

В более общем случае согласованным фильтром для сигнала называют линейный пассивный фильтр с постоянными параметрами и

где постоянные. Функция является зеркальным отображением относительно оси, проведённой через точку (рис. 5.7). Для физической реализуемости фильтра необходимо и достаточно, чтобы при . В частности, для финитного сигнала поступающего на вход фильтра в момент и заканчивающегося в момент условие физической реализуемости согласованного фильтра заведомо выполняется, как видно из рис. 5.7, если постоянная (момент отсчёта) удовлетворяет условию

Передаточная функция (частотная характеристика) согласованного фильтра с определяется преобразованием Фурье

Рис. 5.7 Сигнал и импульсная характеристика линейного фильтра, согласованного с этим сигналом

где функция, комплексно-сопряжённая со спектральной плотностью сигнала Следовательно, с точностью до коэффициента а АЧХ согласованного фильтра определяется амплитудным спектром сигнала (т.е. фильтр лучше передаёт те частоты, которые дают больший вклад в энергию сигнала), а его фазо-частотная характеристика (без учёта слагаемого — определяемого задержкой обратна по знаку фазовому спектру сигнала Благодаря этому в момент все составляющие спектра принимаемого сигнала складываются в фазе и дают максимальный отклик.

Согласно (5.31) в момент времени напряжение на выходе согласованного фильтра пропорционально сигналу на выходе интегратора активного фильтра в схеме рис. 5.2. Поэтому демодулятор, реализующий алгоритм (5.26), может быть выполнен и на базе согласованных фильтров. Структурная схема такого демодулятора для двоичной системы показана на рис. 5.8, где фильтр, согласованный с сигналом

Отклик согласованного фильтра на финитный сигнал длительностью поданный ко входу в момент времени , существует лишь на финитном интервале протяжённостью Действительно, если на вход фильтра подан сигнал, с которым он согласован, то сигнальная составляющая на выходе согласованного фильтра

где сигнала при аргументе Для финитного сигнала она определена на интервале (0,27) и имеет максимум в точке Подчеркнём, что формы полезного сигнала на входе и выходе согласованного фильтра, как правило, существенно отличаются друг от друга. Задачей согласованного фильтра является не восстановление формы сигнала, искажённой шумом, а получение одного отсчёта, по которому можно судить о присутствии или отсутствии на входе фильтра сигнала известной формы.

Докажем, что произвольный линейный стационарный фильтр с

Рис. 5.8. Оптимальный демодулятор на основе согласованных фильтров

импульсной характеристикой даёт на своём выходе в момент времени значение отношения пиковой мощности сигнала к дисперсии шума:

где значение для согласованного фильтра — отношение энергии сигнала длительности к спектральной плотности шума на положительных частотах).

Действительно, пусть на вход фильтра в момент при нулевых начальных условиях подаётся смесь Тогда сигнальная составляющая выхода а шумовая составляющая

Если шум центрирован, стационарен и -коррелирован, то и

Учитывая фильтрующее свойство -функции, имеем

Согласно неравенству Буняковского-Шварца (2.9)

причём равенство имеет место лишь при выполнении условия (5.32), т.е. для согласованного фильтра. С учётом (5,37) и (5.38) следует результат (5.36).

Рассмотрим возможности реализации согласованных фильтров. Согласованный фильтр для финитного сигнала произвольного вида можно в принципе построить на основе неискажающей длинной линии, обеспечивающей задержку сигнала на время с бесконечной плотностью отводов. Практически можно брать отводы в дискретных точках с разносом где эффективная ширина спектра сигнала.

Действительно, с помощью схемы, показанной на рис. 5.9, можно с заданной точностью синтезировать любой сигнал представленный усечённым рядом Котельникова (2.61):

где - ширина спектра сигнала. Как следует из в § 2.4, такой сигнал можно получить на выходе идеального ФНЧ с полосой пропускания подавая на его вход последовательность -импульсов с весами

Рис. 5.9. Реализация фильтра, согласованного с произвольным непрерывным сигналом на основе линии задержки с отводами и блоками взвешивания

через интервалы времени А. Это осуществляется с известным приближением в схеме рис. 5.9. Если на вход линии в начальный момент подаётся один короткий импульс, аппроксимирующий -функцию, то с отводов снимаются такие же импульсы, разнесённые на интервалы А, которые, пройдя через взвешивающие блоки поступают поочередно на вход ФНЧ. Взвешивающие блоки содержат аттенюаторы или усилители с коэффициентом усиления а также при отрицательных инверторы.

Схема рис. 5.9 представляет собой линейный фильтр, называемый трансверсальньш (см. гл. 10), с импульсной реакцией Легко видеть, что если входной импульс подать не в точку А, а в точку В, то будет синтезирован сигнал, представляющий зеркальное отображение Поэтому та же схема со входом в точке В оказывается фильтром, согласованным с

Существуют и другие способы реализации фильтра, точно или приближённо согласованного с сигналом заданной формы.

Так, вариант фильтра, согласованного с прямоугольным радиоимпульсом заданным на интервале причём целое, показан на рис. 5.10. Он состоит из идеального колебательного контура без потерь", настроенного на частоту и фазовращателя, сдвигающего фазу колебаний контура на Линия задержки на в схеме и инвертор обеспечивают гашение колебаний фильтра вне интервала импульсная же

Рис. 5.10. Реализация фильтра, согласованного с прямоугольным радиоимпульсом

реакция фильтра на этом интервале с учётом фазовращателя что и обеспечивает согласованно (5.32).

Схема с согласованными фильтрами на первый взгляд кажется проще схемы с активными фильтрами, поскольку в ней нет опорных генераторов и не возникает проблемы обеспечения их когерентности (согласования по фазе с приходящим сигналом). Однако и в схеме с согласованными фильтрами имеются свои практические трудности. В этом можно убедиться, сравнив, например, эпюры напряжений (без учёта помех в канале) на выходе фильтра (рис. 5.11, б), согласованного с прямоугольным радиоимпульсом (рис. 5.11, а), и на выходе интегратора активного фильтра (рис. 5.11, в). Отметим, что всюду, за исключением точки напряжения на выходах обоих фильтров отличаются друг от друга.

Из рисунков видно, что допустимая неточность во времени снятия отсчёта максимума сигнала на выходе активного фильтра значительно больше, чем при снятии отсчёта максимума сигнала на выходе согласованного фильтра. При активном фильтре достаточно потребовать, чтобы неточность взятия отсчёта была мала по сравнению с тактовым интервалом, а при согласованном фильтре — по сравнению с периодом высокочастотного заполнения радиоимпульса (так называемый когерентный отсчёт). Трудность обеспечения когерентного отсчёта в согласованном фильтре вполне соизмерима с трудностью реализации когерентных опорных генераторов в активном фильтре.

Отметим одно важное обстоятельство, свойственное согласованному фильтру. Пусть на его вход поступает колебание а фильтр согласован с финитным сигналом Тогда сигнал на его выходе в момент времени

Рис. 5.11. Сигналы на выходе согласованного фильтра и корреляционной схемы при подаче на вход прямоугольного радиоимпульса (а) импульс на входе; (б) импульс на выходе согласованного фильтра; (в) напряжение на выходе интегратора активного фильтра

Спектральная плотность по Фурье этого сигнала выходе фильтра, согласованного с сопряжённым сигналом колебание даёт отклик

Спектральная плотность по Фурье этого сигнала Таким образом, сигналы (5.39) и (5.40) сопряжены по Гильберту с точностью до знака. Огибающая на выходе фильтра, согласованного с сигналом

Если сигнал получает фазовый сдвиг 0, то с учётом соотношений (2.116) имеем

Огибающая от 6 не зависит:

Если колебание ортогонально на интервале но не ортогонально на этом интервале то Огибающая на выходе фильтра равна нулю, если ортогональны в усиленном смысле (см. (2.128)).

В технике связи для фильтрации сигнала на фоне шума часто вместо согласованных используют фильтры, характеристики которых лишь частично согласованы с характеристиками сигнала. Такие фильтры называют квазиоптимальными. Так, в практике радиоприёма используются так называемые квазиоптимальные линейные фильтры, форма частотных характеристик которых заранее задана и максимум параметра Рпик обеспечивается лишь соответствующим подбором ширины полосы пропускания фильтра. Квазиоптимальный фильтр такого типа исследовался В.И. Сифоровым, который рассматривал прохождение одиночного радиоимпульса с прямоугольной огибающей через идеальный полосовой фильтр с полосой пропускания на фоне квазибелого шума. В.И. Сифоров показал, что при отношенис достигает максимума:

Сравнив (5.36) и (5.43), можно видеть, что при приёме одиночного импульса энергетический выигрыш оптимального (согласованного) фильтра по сравнению с квазиоптимальным невелик (не превышает 1 дБ).

Таким образом, при приёме одиночных радиоимпульсов вполне допустимо ограничиться квазиоптимальной фильтрацией. Положение, однако, существенно меняется, если надлежит принимать информационные импульсы, следующие друг за другом с таким интервалом, на котором переходные процессы в квазиоптимальном фильтре не успевают затухать. В этих условиях качество приёма с квазиоптимальной фильтрацией резко падает, в то время как при использовании оптимального согласованного фильтра качество остается прежним, так как сигнал на его выходе концентрируется на ограниченном временном интервале и к моменту отсчёта для одного импульса реакция на все предыдущие импульсы равна нулю (см., например, рис. 5.11, б).