8.6. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ. ФИЛЬТР КОЛМОГОРОВА-ВИНЕРА

Линейную фильтрацию широко используют в системах передачи информации для обработки сигналов несмотря на то, что во многих случаях необходима нелинейная обработка. Объясняется это прежде всего простотой реализации линейных фильтров, которые сравнительно легко синтезируются, и существованием развитой теории их построения, чего нельзя сказать о нелинейных фильтрах.

Линейные фильтры являются неотъемлемой частью любого приёмного устройства. С их помощью осуществляется как додетекторная, так и последетекторная обработка сигналов. С помощью линейных фильтров сигналы часто разделяются в многоканальных системах передачи. Требования к этим

фильтрам могут быть весьма различными в зависимости от их назначения. Здесь рассмотрим теорию оптимальной линейной фильтрации.

Пусть сигнал на входе линейного фильтра с импульсной характеристикой представляет сумму переданного сигнала и помехи

Требуется найти такую функцию которая минимизирует среднеквадратическую ошибку

где оценка сигнала на выходе фильтра. Здесь считаем, что время запаздывания сигнала в фильтре а среднее значение берется по ансамблям сигналов и помех Будем полагать, что стационарные взаимно некоррелированные процессы с известными . В такой постановке задача была решена независимо друг от друга Колмогоровым 1939 г.) и Винером 1942 г.), и поэтому оптимальный (в указанном смысле) линейный фильтр называют фильтром Колмогорова-Винера (ФКВ). Требование физической реализуемости фильтра, как известно, сводится к тому, что импульсная характеристика фильтра должна удовлетворять условию для всех Это ограничение учитывается в записи

где область интегрирования у для физически реализуемого фильтра есть интервал а для нереализуемых фильтров - Иногда задача фильтрации решается в более общей постановке: найти оптимальную оценку сигнала при нахождении колебания на текущем интервале Тогда при будем иметь задачу текущей фильтрации, при задачу экстраполяции (фильтрацию с упреждением или предсказанием), а при задачу интерполяции (фильтрацию с запаздыванием).

Можно доказать, что необходимым и достаточным условием оптимальной линейной текущей фильтрации является условие

Это означает, что фильтр нужно выбрать так, чтобы ошибка была не коррелирована со входным сигналом во все моменты времени в области у. Если бы имела место корреляция между ошибкой и принимаемым сигначом, то при последующей обработке можно было бы получить лучшую оценку.

Докажем справедливость условия (8.60). Пусть импульсная характеристика оптимального фильтра, удовлетворяющего условию (8.60), импульсная характеристика любого другого линейного фильтра. Отклики фильтров соответственно обозначим через Тогда

и если справедливо (8.60), то

Следовательно,

Очевидно, что последнее выражение будет минимальным, когда что и доказывает справедливость условия (8.60) для оптимальной фильтрации. Геометрический смысл этого условия состоит в том, что случайный вектор должен быть строго ортогональной проекцией на линейное подпространство, порождаемое случайным вектором

Представим условие (8.60) в виде для всех из у. Отсюда с учётом или

В том случае, когда сигнал и помеха некоррелированы, (8.61) принимает вид

Это основное интегральное уравнение теории линейной фильтрации называется уравнением Винера-Хопфа. Его решением является искомая функция минимизирующая средний квадрат ошибки

Не следует пугать оптимальные линейные фильтры, определяемые (8.61) или (8.62), с согласованными фильтрами, рассмотренными в § 5.4. Если основное назначение рассматриваемых здесь фильтров состоит в наилучшем воспроизведении неизвестной формы сигнала, то задача согласованных фильтров заключается в формировании максимально возможного пика сигнала известной формы в момент отсчёта на фоне шума.

Уравнение (8.62) легко решается для нереализуемых фильтров, т.е. когда Для этого случая, применив преобразование Фурье к обеим частям (8.62), получим в частотной области

Отсюда коэффициент передачи оптимального линейного ФКВ

Докажем, что дисперсия ошибки при оптимальной нереализуемой линейной фильтрации в общей постановке

СПМ для случайного процесса

Записав можно видеть, что обеспечивается лишь при ФЧХ оптимального фильтра стало быть, при передаточной функции фильтра

Нетрудно видеть, что минимальная дисперсия ошибки

Легко заметить, что ошибка только в том случае, когда т.е. когда спектры сигнала и помехи не перекрываются. Во всех других случаях оптимальный фильтр пропускает различные частоты с тем меньшим весом, чем больше отношение при данной частоте.

Мы не будем здесь обсуждать вопросы реализации фильтра, характеристики которого приближаются к характеристике нереализуемого ФКВ, поскольку известен всегда реализуемый вариант фильтра, оптимальный по среднеквадратическому критерию, определяемый методом переменных состояния (см. ниже § 8.7).

Результаты оптимальной фильтрации можно существенно улучшить, если применить так называемое предыскажение сигнала с последующей его коррекцией на приеме. Сущность метода предыскажения состоит в том, что на передающей стороне сигнал пропускается через фильтр с коэффициентом передачи Полученный таким образом видоизменённый сигнал передаётся по каналу. На приёмной стороне включён другой фильтр Характеристики фильтров и выбираются так, чтобы обеспечить минимум среднеквадратической ошибки. Расчёты показывают, что предыскажение даёт тем больший выигрыш, чем меньше относительная ширина полосы перекрытия спектров сигнала и помехи. Предыскажение позволяет перераспределить мощность полезного сигнала в полосе частот канала так, чтобы обеспечить лучшие условия согласования источника сигнала с каналом (в общем случае полезно стремиться к тому, чтобы сумма спектральных плотностей мощности сигнала и мощности помехи была постоянной в пределах полосы частот канала). Это означает, что предыскажение можно рассматривать как некоторое "линейное кодирование" непрерывного сигнала, позволяющее уменьшить ошибку и улучшить использование пропускной способности канала.

Линейное предыскажение широко используется в современных системах связи. Характерными в этом отношении являются системы, в которых используется частотная модуляция. Согласно (8.41) плотность мощности шума на выходе ЧМ демодулятора увеличивается пропорционально квадрату частоты, так что верхние частотные составляющие сообщения подвержены шумам сильнее, чем нижние. Метод предыскажения и последующая коррекция позволяют снизить шум на верхних частотах и тем самым создать примерно одинаковые условия для передачи как нижних, так и верхних частот сообщения.

Следует отметить, что в результате предыскажений формируется новый сигнал с необходимыми свойствами. Так в радиовещании и многоканальной радиорелейной и спутниковой связи с частотной модуляцией несущей используется предыскажение, близкое к дифференцированию. В этом случае на вход частотного модулятора поступает не первичный сигнал как это делается при ЧМ без предыскажений, а его производная Поэтому пропорционально изменяется не мгновенная частота, а мгновенная начальная фаза несущего колебания, т.е. формируется не ЧМ, а ФМ сигнал. Так как спектр шума на выходе демодулятора ФМ сигнала равномерный (8.39), то тем самым в многоканальных системах обеспечивается одинаковая помехоустойчивость во всех частотных каналах, а в случае радиовещаши - более качественное воспроизведение речевых и музыкальных передач [23].