Случайные процессы, определяемые двумерной плотностью вероятности.

Среди различных типов случайных процессов можно выделить некоторые процессы, которые полностью характеризуются простейшими плотностями вероятности. В качестве примера случайного процесса, который полностью определяется одномерной плотностью вероятности, можно привести так называемый абсолютно случайный процесс или белый шум. В этом процессе значения взятые в различные моменты статистически независимы друг от друга, как бы близко эти моменты ни располагались друг от друга. Иначе говоря, возникающие в белом шуме всплески затухают за бесконечно малые промежутки времени. Поскольку значения в моменты независимы, их совместная (двумерная) плотность вероятности равна произведению одномерных плотностей:

Аналогично

Это означает, что в рассматриваемом случае все -мерные плотности вероятности определяются одномерной плотностью вероятности.

Следующий по сложности процесс получается, когда вся информация о нём содержится в двумерной плотности вероятности Такими являются гауссовские СП или простые марковские -мерная ПВ гауссовского случайного процесса определяется формулой

где соответственно и дисперсии значений СП в отдельных сечениях процесса; определитель корреляционной матрицы

коэффициент корреляции между значениями СП в сечении; алгебраическое дополнение в определителе элемента

Для определения и дисперсии гауссовского СП требуется знание лишь двумерной плотности вероятности. Если все сечения гауссовского СП не коррелированы, то матрица является диагональной и (2.97) принимает вид

Но (2.98) определяет условие статистической независимости отдельных сечений СП. Итак, если гауссовские случайные величины при различных не коррелированы, то они также статистически независимы.

Отличительной особенностью простого марковского СП является минимальное последействие: для него вероятность нахождения X в заданном интервале значений в момент зависит только от состояния в предшествующий момент

Иначе говоря, -мерная простого марковского при

полностью определяется двумерной плотностью вероятности. Теория марковских процессов хорошо разработана и широко используется в современной теории связи. В частности при некоторых дополнительных условиях переходная плотность вероятности при удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка в частных производных:

при начальном условии Здесь коэффициент сноса, а коэффициент диффузии. Уравнение (2.99) называют уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова. Марковские процессы, удовлетворяющие этому уравнению, называют диффузионными. В зависимости от вида коэффициентов диффузионный марковский процесс может иметь различные распределения вероятностей.

К марковским процессам относятся также процессы с независимыми приращениями. Эти процессы обладают тем свойством, что для любой совокупности моментов времени разности значений процесса взаимно независимы. Для того, чтобы определить функцию распределения любого порядка для процесса с независимыми приращениями, достаточно знать только одномерные распределения т.е. одномерную и двумерную функции распределения процесса. Если распределение приращений зависит лишь от то процесс с независимыми приращениями называется однородным.

Рассмотрим процесс, введённый Винером в качестве простой модели броуновского движения частицы, передвигающейся под воздействием множества соударений таких же частиц. Винеровский процесс определяется как интеграл от нормального белого шума

или с помощью стохастического дифференциального уравнения гауссово кип стационарный СП с нулевым и -корреляцией:

Поскольку преобразование (2.100) является линейным, то винеровский процесс остается гауссовским. Для математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции процесса имеем соответственно

Одномерная плотность вероятности винеровского процесса

Винеровский процесс является нестационарным с дисперсией пропорциональной времени; его реализации оказываются своеобразными, с возрастающим во времени разбросом траекторий. Для винеровского процесса коэффициент сноса в (2.99) равен нулю, а коэффициент диффузии поэтому винеровский процесс часто называют диффузионным, он играет основополагающую роль при формировании более сложных марковских процессов. Важной особенностью винеровского процесса является то, что его реализации нигде не дифференцируемы, хотя являются непрерывными с вероятностью единицы. Это следствие особых свойств винеровского процесса производная от которого если её понимать в обычном смысле, не существует, поскольку Действительно, принимая во внимание равенство для дисперсии приращений имеем

Порядок величины прирашения определяется из (2.101) как при Скорость изменения обращается в бесконечность, что свидетельствует о недифференцируемости процесса. Вместе с тем марковские диффузионные процессы являются во многих случаях удобной математической моделью сообщений, сигналов и помех.