10.5. ОСНОВЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

В общем случае в линейном стационарном выходной отсчёт (в момент времени линейно зависит от входного отсчёта и некоторого количества предшествующих отсчётов а также от некоторого количества выходных отсчётов

Числа в разностном уравнении (10.52) называют соответственно памятью (относительной) ЦФ по входу и выходу. ЦФ с памятью по выходу называют рекурсивным, а без такой памяти — нерекурсивным [24].

Алгоритмы работы различных ЦФ отличаются параметрами и набором коэффициентов Рассмотрим сначала реализацию нерекурсивных ЦФ, когда все

В этом случае разностное уравнение (10.52) принимает вид

На рис. 10.7 дана структурная схема ЦФ, реализующего алгоритм (10.53).

Основными элементами ЦФ являются блоки задержки отсчетных значений на один тактовый интервал (условно они обозначены символом а также масштабные блоки. Сигналы с последних собираются в сумматор,

Рис. 10.7. Структурная схема построения нерекурсивного (трансверсального) фильтра

образуя выходной отчёт. Вид представленной схемы объясняет название фильтра "трансверсальный" (от английского слова transverse - поперечный).

Подчеркнём, что посредством разностного уравнения (10.53) можно построить лишь ЦФ с финитной (конечной) импульсной характеристикой Если на вход схемы рис. 10.7 подать единичный импульс ( то по определению отклик ЦФ есть его импульсная характеристика Это возможно лишь при условии, что в нерекурсивном фильтре отсчёты импульсной характеристики совпадают с коэффициентами

Взяв z-преобразование от левой и правой части (10.53), имеем

Следовательно, системная функция трансверсального фильтра

Равенство (10.54) определяет дробно-рациональную функцию от Она имеет -кратный полюс при нулей, определяемых корнями полинома числителя (10.54). Последние зависят от отсчётов импульсной характеристики трансверсального фильтра

На рис. 10.8 дана структурная схема ЦФ, работающего по общему алгоритму (10.52).

Взяв z-преобразование от левой и правой части (10.52), получим

Отсюда следует выражение для системной функции рекурсивного ЦФ:

В реализуемых цифровых фильтрах Дробно-рациональная функция (10.56) имеет на z-плоскости: L нулей, определяемых корнями уравнения

Рис. 10.8. Структурная схема построения рекурсивного ЦФ

-кратный нуль в точке

полюсов, определяемых корнями уравнения

Если коэффициенты вещественны, то корни уравнения (10.57) (т.е. полюса лежат либо на вещественной оси, либо образуют комплексно-сопряженные пары.

Системной функции (10.56) соответствует

где

АЧХ фильтра (в децибелах) определяется формулой

За счёт наличия обратной связи (с выхода на вход) схема рис. 10.8 характеризуется нефинитной (длящейся неограниченно) импульсной характеристикой (откликом на единичный импульс (

Система с обратной связью нуждается в исследовании на устойчивость. ЦФ устойчив, если при не превышает некоторого положительного числа А, независимо от выбора начальных условий в схеме. Чтобы исследовать устойчивость схемы, надо исследовать поведение свободных колебаний, т.е. уравнения (10.52) при отсутствии внешнего воздействия:

Известно, что отдельное свободное колебание в линейной стационарной системе определяется выражением т.е. при имеем Обозначив можем искать решение (10.58) в виде

Поставив (10.59) в (10.58), получим характеристическое уравнение, определяющее X:

Уравнение (10.60) совпадает с уравнением (10.57), которому удовлетворяют полюсы системной функции рекурсивного ЦФ.

При найденных корнях уравнения (10.60) или общее решение уравнения (10.58) можно представить в виде

где ограниченные коэффициенты определяются начальными условиями.

Для момента времени с номером к из (10.61) следует

Если все полосы системной функции (10.56) удовлетворяют условию

т. е. они лежат внутри единичного круга с центром в точке то на основании (10.61) и (10.62) можно прийти к заключению, что все свободные колебания во времени определяются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии и фильтр будет устойчив.

Недостаток схемы рис. 10.8 — наличие отдельных элементов задержки для входных и выходных отсчётов. На рис. 10.9 дана так называемая каноническая схема рекурсивного ЦФ, использующего общие элементы задержки для входных и выходных отсчётов, при

Схема рис. 10.9 идентична схеме рис. 10.8. Чтобы это доказать, определим системную функцию ЦФ по схеме рис. 10.9- Обозначим значение дискретного отсчёта в момент времени на выходе первого сумматора через Из схемы видна справедливость уравнения

Дискретный сигнал на выходе второго сумматора в момент времени

Выполним z-преобразование над правой и левой частью (10.64) и (10.65), получим

Приравняв значение из уравнений (10.66) и (10.67), имеем

Полученный результат не отличается от (10.56), что доказывает идентичность схем рис. 10.8 и 10.9.

Большое практическое значение имеют методы синтеза с требуемыми свойствами, например с требуемым видом импульсной или частотной характеристики ЦФ.

Рассмотрим некоторые приёмы синтеза ЦФ по заданным характеристикам их аналоговых прототипов.

а) Синтез по заданной импульсной характеристике аналогового прототипа строится с импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации т. е. её отсчёт Если в импульсной характеристике ЦФ ограничиться конечным числом слагаемых, получаем реализацию в виде трансверсального фильтра. При неограниченном числе компонент следует реализация в виде рекурсивного ЦФ.

Рис. 10.9. Каноническая схема реализации рекурсивного ЦФ

Пример. Пусть аналоговый фильтр представляет собой интегратор порядка) с импульсной характеристикой

Частотная характеристика этого фильтра Если трансверсальный ЦФ строить по двум отсчётам то его системная функция , а

Если построить рекурсивный фильтр по всем отсчётам то его системная функция Этот ряд сходится при равен полученного рекурсивного ЦФ первого порядка (с памятью )

б) Синтез ЦФ путём дискретизации дифференциального уравнения аналоговой системы.

Построение ЦФ сводится к переходу от заданного дифференциального уравнения к разностному уравнению.

Пример. Пусть аналоговая система описывается уравнением

Для момента времени входное воздействие равно , а отклик фильтра Заменим производные в (10.68) конечными разностями:

Тогда разностное уравнение для (10.68) принимает вид

Полученное уравнение реализуется рекурсивным ЦФ второго порядка с системной функцией

ЧХ полученного ЦФ

в) Синтез ЦФ по заданной частотной характеристике аналогового прототипа (или операторного коэффициента передачи

Принципиально нельзя создать ЦФ, частотная характеристика которого повторяла бы частотную характеристику аналогового прототипа так как является периодической функцией частоты дискретизации Однако можно потребовать, чтобы весь интервал частот характеризующий аналоговую цепь, был преобразован в отрезок частот цифрового фильтра, на котором сохраняется форма характеристики причём

Если для перехода от -плоскости (отображающей аналоговый прототип) к z-плоскости (отображающий цифровой фильтр) воспользоваться соотношением

то формально мы от частотной характеристики аналогового эквивалента переходим к системной функции ЦФ. Однако, если подставить в выражение для передаточной функции аналогового прототипа которая для цепей с сосредоточенными параметрами представляет собой отношение двух полиномов от (дробно-рациональную функцию), получим физически нереализуемую системную функцию ЦФ, так как она не выражается отношением двух полиномов от

Надо найти такое преобразование которое привело бы к реализуемому фильтру, но вместе с тем сохранило бы основное свойство преобразования (10.69): переводило бы точки мнимой оси на плоскости (точки в точки единичной окружности в z-плоскости.

Для синтеза ЦФ получило распространение билинейное преобразование [24]:

Для пояснения сути преобразования (10.70) положим т.е. комплексно-значные точки z лежат на единичной окружности и характеризуются аргументом (угловым сдвигом) Тогда правая часть (10.70) принимает вид

Воспользовавшись формулой а, можно (10.71) представить так:

Последнему соотношению соответствует согласно (10.70) мнимая аналоговая часть следовательно,

При выполнении неравенства

следует

В общем случае надо учесть изменение масштаба по оси частот цифрового фильтра.