4.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ В ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ

Передача сигналов по реальным каналам связи всегда сопровождается изменениями (преобразованиями) этих сигналов, в результате чего принятые сигналы отличаются от переданных. Отличия эти обусловлены прежде всего линейными и нелинейными преобразованиями входных сигналов, а также наличием аддитивных шумов в канале, существующих чаще всего независимо от передаваемых сигналов. С точки зрения передачи информации по каналу важно подразделение преобразований сигнала на обратимые и необратимые. Обратимые преобразования не влекут за собой потери информации (см. гл. 6).

При необратимых преобразованиях потери информации неизбежны. Для обратимых преобразований сигнала часто используется термин искажение, а необратимые преобразования называют помехами (аддитивными и неаддитивными).

4.3.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ

Пользуясь фильтрующим свойством -функции, запишем

Выражение (4.3) можно рассматривать как динамическую модель сигнала, показывающую ход его развития от до точки

Поскольку при можно записать как

Введём в рассмотрение импульсную характеристику линейного стационарного канала как его отклик в момент времени на -импульс, поданный в момент времени . Тогда отклик такого канала на элементарное воздействие равен а отклик на сигнал (4.3) в соответствии с принципом суперпозиции

Верхнюю переменную в интеграле можно заменить на так как из условия реализуемости системы (отклик системы не может появиться раньше воздействия) при или

Выражение (4.5) называют интеграгом Дюамеля. Он определяет отклик линейной стационарной системы как свёртку сигналов

Формула (4.5) имеет наглядный физический смысл: линейная стационарная система выполняет над входным сигналом операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших в прошлом при — Роль весовой функции играет

Физически реализуемая система должна быть также устойчивой: возникающие от внешнего толчка (воздействия собственные колебания должны с течением времени затухать, что требует выполнения условия абсолютной интегрируемости:

Формулу (4.5) можно обобщить на случай линейного нестационарного (параметрического) канала:

если учесть, что это отклик канала (системы) в момент на -импульс, поданный ко входу в момент Для стационарной системы

Если канал (система) имеет входов и выходов, можно ввести в рассмотрение матрицу импульсных характеристик с парциальными импульсными характеристиками

и обобщить (4.7) для многомерного случая

где -мериый вектор; мерный вектор. Преобразование Фурье от по переменной

определяет передаточную функцию линейного канала с переменными параметрами, которая является функцией не только частоты, но и времени.

Для стационарных линейных каналов (систем) передаточная функция (комплексный коэффициент передачи или частотная характеристика - не зависит от времени, поскольку

Импульсную характеристику можно найти из обратным преобразованием Фурье:

Спектр Фурье свёртки (4.6) равен (см. задачу 2.6.)

где спектральные плотности входного и выходного сигналов.

Зная спектральную плотность выходного сигнала (4.10), можно найти выходной сигнал обратным преобразованием Фурье:

Соотношения (4.10) и (4.11) определяют спектральный (частотный) метод анализа линейной стационарной системы, в то время как соотношение (4.4) определяет временной метод анализа этой системы.

Спектральный метод анализа линейных стационарных систем можно обобщить, если от преобразований Фурье входного и выходного X) сигналов перейти к их преобразованиям Лапласа.

Предположим, что вещественный или комплексный сигнал, определённый при и равный нулю при Преобразование Лапласа этого сигнала — это функция комплексной переменной

определяемая интегралом

называют изображением для сигнала Интеграл (4.13) существует (абсолютно сходится) при а - положительные числа), если

Число а называют абсциссой абсолютной сходимости.

Выражение (4.13) можно рассматривать как обобщение преобразования Фурье (для сигналов, определённых при на случай комплексной частоты (4.12). В литературе имеются таблицы большого числа функций (оригиналов) и их изображений что часто делает излишним выполнение операции обратного преобразования Лапласа. Так, для функции

Учитывая линейность преобразования Лапласа, можно утверждать, что изображению (сумме простых дробей)

Оригинал по заданному изображению можно в обшем случае находить обратным преобразованием Лапласа. Для этого в формуле обратного преобразования Фурье

следует осуществить аналитическое продолжение, перейдя от мнимой переменной к комплексной переменной Так как то из (4.15) следует

Из соображений сходимости надо, чтобы выполнялось условие (см. (4.14)). Изображения по Лапласу оказываются в точках комплексной плоскости (за исключением счётного числа так называемых особых точек, которые, как правило, полюсы, однократные или многократные) аналитическими функциями (непрерывные функции с производными любого порядка). Это позволяет для вычисления интегралов типа (4.16) пользоваться достаточно простым и отработанным методом теории вычетов.

Рис. 4.1. Образование замкнутого контура итерирования

Чтобы использовать методы теории вычетов для интегрирования (4.16), надо сначала от этого интеграла перейти к интегралу по замкнутому контуру

Контур интегрирования в (4.17) образован добавлением к прямой дуги бесконечно большого радиуса (рис. 4.1). Для того чтобы добавление этой дуги не изменило значение интеграла (4.17), надо, как доказывается в теории функции комплексной переменной при положительных значениях

располагать дугу с радиусом Я в левой полуплоскости и вести интегрирование по замкнутому контуру против часовой стрелки (рис. 4.1); при отрицательных значениях располагать дугу с радиусом в правой полуплоскости и вести интегрирование по замкнутому контуру по часовой стрелке (рис. 4.1, штриховая линия).

Согласно теореме Коши о вычетах, интеграл по замкнутому контуру

где — вычет подынтегральной функции относительно ее полюса, который лежит внутри контура интегрирования. Вводя вместо передаточной функции линейной стационарной системы её операторный коэффициент передачи (т.е. формально, перейдя от мнимой частоты к комплексной частоте получаем для изображения (преобразование Лапласа) отклик системы на воздействие

Функция определяется аналогично (4.17):

Анализ цепи посредством формул (4.19) и (4.20) называют операторным.

Для интегрирования (4.20) методом теории вычетов надо прежде всего знать полюса функции (т.е. значения при которых эта функция обращается в бесконечность). Представим эту функцию в виде

где полюс функции. Вычет рассматриваемой функции, имеющей в точке простой полюс (первой кратности),

Если функция имеет в точке полюс кратности К, то её вычет

Если интеграл в (4.20) берется при (контур замыкается в левой полуплоскости), то согласно теореме о вычетах он не равен нулю, так как все полюса подынтегральной функции попадают внутрь контура интегрирования. Действительно, полюса лежат внутри этого контура, что обусловлено выполнением условия Полюса операторного коэффициента передачи устойчивой линейной стационарной системы лежат в левой полуплоскости переменной так как свободное колебание в системе (существующее при

отсутствии внешнего воздействия) совершается по закону Эти колебания стремятся к нулю с ростом t (условие устойчивости) лишь при

Если интеграл в (4.20) берется при (контур замыкается в правой полуплоскости), то он равен нулю, так как при нет полюсов внутри контура интегрирования. Этот результат очевиден, поскольку входное воздействие начинается лишь при

Пример. Найдём операторным методом интегрирующей цепочки с операторным коэффициентом передачи Изображение Лапласа для -функции Тогда изображение отклика

Оригинал

Подынтегральная функция имеет один простой полюс Вычет в этом полюсе при и используя теорему о вычетах, имеем

Линейный стационарный канал (цепь) является неискажающим (не меняет форму входного сигнала), если

где у — масштабный коэффициент; постоянная задержка в канале. Действительно, подставив (4.24) в (4.4) и учтя фильтрующее свойство -функции, получаем

Импульсной характеристике (4.24) соответствует согласно (4.9) передаточная функция канала

т.е. АЧХ не зависит от частоты, а линейно меняется с частотой. В реальных каналах связи, даже когда можно пренебречь аддитивным шумом, преобразование сигналов имеет сложный характер и обычно приводит к отличию формы выходного сигнала от входного.