6.3.3. ТЕОРЕМА КОДИРОВАНИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО КАНАЛА СВЯЗИ

Пусть имеется некоторый непрерывный канал связи, для которого в § 6.3.1 определены понятия -кода и решающей схемы. Тогда можно сформулировать следующую теорему кодирования для непрерывного канала, которая является аналогом теоремы кодирования для дискретного канала с помехами.

Теорема о кодировании в непрерывном канале с помехами.

Если непрерывный канал имеет пропускную способность С и заданы любые числа то всегда найдется такое То, что при всяком То существует -код, состоящий из сигналов, и решающая схема, которые обеспечивают выполнение неравенств

Если то неравенство (6.85) не выполняется, как бы ни было велико значение (Доказательство данной теоремы можно найти в [16]).

Интерпретация данной теоремы мало отличается от интерпретации соответствующей теоремы для дискретного канала. Действительно, если мы имеем некоторый двоичный источник информации, то блоки длины данного источника можно согласовать с -кодом без задержек во времени при выполнении следующих очевидных условий

где длительность символов источника. Преобразуя (6.86), получаем необходимые и достаточные условия убывания ошибки к нулю при кодировании в непрерывном канале связи:

Видно, что это условие отличается от условия (6.52), полученного для кодирования в дискретном канале, только тем, что пропускная способность дискретного канала заменяется на пропускную способность непрерывного канала. Поскольку, как уже отмечалось ранее, непрерывный канал всегда обладает большей пропускной способностью, чем любой отображающий его дискретный канал, то кодирование в непрерывном канале обеспечивает всегда большую информационную скорость передачи, чем в дискретном. Это свойство

вполне очевидно, так как кодирование и декодирование в непрерывном канапе являются более общими процедурами, чем в дискретном.

Далее можно снова обратиться к достаточному условию (6.4) для убывания вероятности ошибки к нулю при использовании ортогональных сигналов, которое было получено ранее. Этому случаю соответствует непрерывный канал связи с бесконечной полосой пропускания, для которого пропускная способность определяется выражением (6.84). Поэтому необходимое и достаточное условие обеспечения высокой надёжности передачи в таком канале в действительности будет иметь вид

Сравнение (6.4) и (6.86) показывает, что простой вывод достаточного условия (6.4) даёт в 2 раза меньшую скорость, чем действительно достижимая скорость передачи.

Для непрерывного канала остается справедливой также и основная теорема Шеннона, если в ней понимать под С пропускную способность непрерывного канала.

Для канала с пропускной способностью на вход которого подключён непрерывный источник, обладающий -производительностью Шеннон доказал следующую теорему [27]: если при заданном критерии эквивалентности сообщении источника его -производительность меньше пропускной способности канала С, то существует способ кодирования и декодирования (преобразования сообщения в канальный сигнал и обратно - канального сигнала в сообщение), при котором неточность воспроизведения сколь угодно близко к При такого способа не существует.

Для гауссовского непрерывного канала первую часть теоремы можно записать в виде

где отношение сигнал-помеха в канале. При гауссовском источнике условие "неискажённой передачи" в гауссовском канале можно записать как

или при

Умножая левую и правую часть (6.89) на получаем неравенство

где информационный объем сигнала; информационный объём канала. Неравенство (6 90) совпадает с условием неискажённой передачи, выраженной в терминах физического объёма сигнала и канала [см. § 1.2].

Формула Шеннона (6.83) может быть использована для оценки потенциальных возможностей непрерывного канала связи не только относительно его энергетики, но и занимаемого им спектра.

Действительно, используем два важнейших показателя системы связи, которое уже определены в § 5.8: энергетический параметр и частотную эффективность

В соответствии с теоремой Шеннона, полагая при оптимальном согласовании дискретного источника и непрерывного гауссовского канала из (6.83) имеем

На рис. 11 1 построена выраженная в децибеллах зависимость энергетической эффективности как функция от у (Ру-номограмма), соответствующая (6 91).

Невозможно построить систему связи, которая имела бы пару чисел лежащую выше указанной кривой на рис. 11.1. При получаем а при т. е. когда на полосу частот канала не накладывается никаких ограничений, В то же время при как видно из (6.91),

т.е. минимально необходимая битовая энергия экспоненциально возрастает при возрастании спектральной эффективности.

Если говорить о реальных системах связи, то, используя, например, -ичные ортогональные сигналы (ЧМ) для можно получить при вероятности ошибки на бит -номограммы, соответствующие точкам, указанным на рис. 11.1 . Чтобы в этой области приблизиться к предельной кривой, необходимо использовать помехоустойчивое кодирование, которое описано в следующей главе.

Что же касается области -номограмм при и вблизи предельной кривой, то она оказывается весьма трудно достижимой для реальных систем связи. Даже для того, чтобы получить приходится использовать комбинированные методы многократной фазовой и амплитудной модуляции. Дальнейшее же приближение к предельной кривой в данной области возможно только при совмещении кодирования и модуляции, т.е. в так называемых системах связи с кодированной модуляцией. О принципах их построения говорится в гл. 7 и 11.