2.6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ РЯДАМИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Каноническое разложение.

В § 2.5 показано, что непрерывный случайный процесс является математическим объектом большой сложности: его можно трактовать как несчётное множество случайных величин. Естественно, возникает желание представить случайную функцию через счётное множество случайных величин, что упрощает анализ. В § 2.3 показано, что сколь угодно сложные детерминированные сигналы с интегрируемым квадратом (элементы в пространстве Гильберта могут быть представлены обобщённым рядом Фурье (2.22). Эти идеи можно распространить на представление случайного процесса,

непрерывного в среднеквадратическом смысле). Для такого центрированного случайного процесса можно найти такую ортонормированную систему базисных функций которая обеспечит разложение на некоррелированные слагаемые. Такое разложение, называемое разложением Карунена-Лоэва, имеет вид

где коэффициенты разложения, которые являются попарно некоррелированными случайными величинами. Разложение вида (2.91) случайного процесса на некоррелированные слагаемые называется его каноническим разложением. Функции в каноническом разложении называются координатными функциями. Они образуют базис разложения и находятся как собственные функции интегрального оператора

где случайного процесса, собственные числа. Докажем, что при к некоррелированы:

Здесь учтено, что к взаимно ортогональны.

Для вычисления ФК случайного процесса дадим аргументу в формуле (2.91) два значения Тогда

Эти формулы выражают значения случайного процесса в виде линейных функций одних и тех же некоррелированных случайных величин . В этом случае корреляционная функция случайного процесса определяется выражением

где дисперсия величин Поскольку дисперсия равна значению ФК при то