8.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ДЕМОДУЛЯЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ

Определим условия оптимачьного приёма непрерывных сообщений. Пусть сообщение представляет собой некоторый стационарный процесс (первичный сигнал) с реализацией Он может непрерывно изменяться во времени и принимать любую форму.

Для простоты анализа будем считать, что функция принимает значения от -1 до что реализации сообщения имеют конечную длительность и что их спектр практически ограничен частотами от 0 до При этих условиях функция может быть разложена по ортонормированному базису и представлена в виде усечённого ряда

где случайные коэффициенты, определяющие передаваемое сообщение. При разложении в тригонометрический ряд Фурье X пропорциональны со

ставляющим спектра, а при разложении в ряд Котельникова - отсчётным значениям функции Здесь Таким образом, при известной системе базисных функций передача непрерывных сообщений эквивалентна передаче В значений коэффициентов (параметров) Для передачи по каналу колебание преобразуется в сигнал Поскольку колебание (8.17) определяется параметрами то и сигнал зависит от этих параметров. Принятое колебание с учётом наложения помехи

Влияние помех приводит к тому, что каждый параметр будет принят с некоторой погрешностью результате оценка сообщения

где погрешность воспроизведения сообщения (шум на выходе приёмника).

Таким образом, задача оптимального приёма непрерывного сообщения сводится к задаче совместного оптимального приёма совокупности многих параметров Эта задача является обобщением рассмотренной в § 8.2 задачи оптимальной оценки одного параметра.

Итак, по реализации необходимо восстановить переданное сообщение с возможно большей точностью, хотя бы при слабых помехах. Для этого необходимо на основе анализа принятого колебания найти максимум апостериорного распределения которое на основе формулы Байеса может быть представлено в виде

где k — постоянный коэффициент. Функция правдоподобия входящая в выражение (8.20), известна (для рассматриваемого гауссовского канала - это гауссовское распределение). Априорное распределение зависит от вида и характеристик передаваемых сообщений

Выбор конкретной модели априорного распределения является не столь существенным [26]. Роль начальных, априорных сведений уменьшается с увеличением объёма наблюдений. При большом объёме наблюдений алгоритмы обработки сигналов получаются асимптотически одинаковыми, т.е. мало чувствительными к априорному распределению. Поэтому ограничимся рассмотрением модели равномерного распределения В этом случае решение задачи упрощается, так как согласно (8.20) апостериорное распределение будет полностью определяться функцией правдоподобия

которая для гауссовского канала определяется выражением, аналогичным (8.12):

Согласно этому выражению максимуму функции правдоподобия а следовательно, и функции соответствует минимум по интеграла

Значит, оптимальный приёмник должен воспроизводить сообщение которое соответствует, как и при передаче дискретных сообщений, тому из возможных сигналов который меньше других отличается в среднеквадратическом смысле от реализации сигнала на входе приёмника.

При отсутствии помех такой приёмник воспроизводит сообщение без искажений (без ошибок): а при наличии помех ошибка минимальна.

Запишем (8.20) в другом виде, подобном (8.15):

где

Отсюда следует, что при известной априорной вероятности определение апостериорной вероятности сводится к вычислению функции т.е. скалярного произведения принятого колебания на переданные (ожидаемые) сигналы

Во многих случаях для приближённого нахождения целесообразно применение простых следящих устройств. Рассмотрим принципиальную возможность построения таких устройств. Подробное и более строгое обоснование на основе теории нелинейной фильтрации приводится в § 8.8.

При передаче непрерывных сообщений сигнал не является полностью известным. Однако обычно имеется некоторая априорная информация об этом сигнале. Известны, например. несущая частота, вид модуляции, ширина спектра сигнала и т.п. Часть информации можно получить в результате наблюдения над принятой реализацией сигнала за предшествующий промежуток времени. В результате имеется возможность определить оценку сигнала и вычислить функцию этой

Функцию можно найти с помощью фильтра с переменными параметрами (рис. 8.1) или схемы следяшего коррелятора (рис. 8.2). Каждая из этих схем имеет основной информационный канат, на выходе которого получается оценочное значение передаваемого сообщения, и канал обратной связи, с помощью которого в схеме рис. 8.2 формируется опорный сигнал а в схеме рис. 8.1 с помощью управляющего элемента производятся изменения параметров фильтра так, чтобы он был согласован с непрерывно изменяющимся ожидаемым сигналом В схеме рис. 8.2 с помощью изменяется модулируемый параметр несущего колебания, формируемого генератором При частотной

Рис. 8.1. Структурная схема демодулятора со следящим фильтром

Рис. 8.2. Структурная схема следящего корреляционного демодулятора

модуляции, например, этим параметром будет частота, при временной импульсной модуляции - сдвиг импульсов во времени и т.п. Фильтр нижних частот ФНЧ в этой схеме выполняет роль интегратора на интервале наблюдения который связан с максимальной частотой в спектре передаваемого сообщения соотношением

Рассмотренные схемы являются квазиоптимальными, поскольку получаемая оценка не является наилучшей возможной. При различных видах модуляции принцип следящего приема остаётся одним и тем же Вид модуляции определяет параметр, за которым должно осуществляться слежение. Иначе говоря, оптимальный приёмник должен с наименьшей ошибкой следить за передаваемым случайным колебанием Схемы следящего приёма позволяют практически реализовать помехоустойчивость, близкую к потенциальной. При линейной модуляции, когда где известная функция (несущее колебание), оптимальный демодулятор можно реализовать разомкнутой схемой с синхронным детектором (рис. 8.3).

Перейдём к определению помехоустойчивости систем связи при оптимальном приёме. Заметим, что эту потенциальную помехоустойчивость можно вычислить, не уточняя структуры оптимального демодулятора. Для этого достаточно знать, что он выдаёт решение соответствующее минимуму (8.21).

Прежде чем приступить к выводу формул, определяющих потенциальную помехоустойчивость, напомним основные принципы классификации видов модуляции при передаче непрерывных сообщений. В обшем случае модуляция заключается в том, что множество сообщений (первичных сигналов) преобразуется (отображается) в множество вторичных сигналов Этой записью подчеркивается, что значение сигнала в некоторый момент определяется в общем случае всем поведением сообщения на всей оси времени.

В частном случае, если сигнал в любой момент зависит не от всего хода сигнала а только от его значения в момент то система модуляции называется прямой. В этом случае сообщение входит непосредственно в выражение сигнала К прямым относится подавляющее большинство применяемых методов модуляции, например и ФМ. Остальные системы модуляции, в которых зависит от общего поведения сигнала называются непрямыми. Среди них особый интерес представляют интегральные системы, в которых входит в выражение под интегралом

Система модуляции называется линейной, если можно получить из с помощью линейных операций. Линейные системы могут быть прямыми (например, амплитудная - АМ) и непрямыми (например, однополосная - ОМ).

Геометрически модуляцию можно рассматривать как отображение пространства В сообщений в пространство сигналов а демодуляцию - как обратное отображение. При демодуляции помеха на входе приёмника отображается в погрешность оценки сообщения (шум воспроизведения или шум на выходе приёмника)

Рассмотрим приём непрерывного сообщения на фоне БГШ со спектральной плотностью При достаточно слабом шуме погрешность (шум на выходе приёмника) представляет собой также гауссовский процесс со спектральной плотностью которую и будем определять. Для этого удобно воспользоваться геометрическим представлением. В пространстве сигналов каждой реализации сигнала при различных соответствует точка. Если зависит непрерывно от (что имеет место во всех аналоговых системах связи), то все эти точки образуют некоторую кривую

Рис. 8.3. Структурная схема демодулятора с синхронным детектором

Рис. 8.4. Геометрическое представление сигнала и шума

(рис. 8.4). Принятый сигнал является также точкой в пространстве сигналов, как правило, не лежащей на кривой Максимально правдоподобная оценка соответствует тому сигналу который изображается на сигнальной кривой точкой, ближайшей к точке Обозначим где действительно переданное сообщение. При малой помехе и, следовательно, малом отклонении отрезок между можно аппроксимировать прямой линией, которая является касательной к линии сигнала в точке Тогда представляет проекцию вектора на эту прямую. В этом случае справедливо представление

Здесь составляющая (координата) шумового вектора в пространстве сигналов, представляющая низкочастотный гауссовский эргодический процесс с нулевым и со спектральной плотностью в полосе частот от 0 до Тогда с учётом (8.25) в единичной полосе частот

Поскольку процесс (компонента шума на выходе приёмника) меняется значительно медленнее процесса , то

Из (8.27) следует, что односторонняя СПМ шума на выходе приёмника:

При прямых системах модуляции не зависит от частоты. Таким образом, при прямых системах модуляции шум на выходе приёмника квазибелый, т.е. имеет равномерный спектр в полосе частот

В случае интегральных систем сообщение входит в выражения сигнала под знаком интеграла: где Так как то Следовательно СПМ шума на выходе приёмника для интегральных систем можно определить как СПМ производной На основании известной теоремы о спектре производной где определяется по формуле (8.28), если в последней вместо подставить Таким образом, для интегральных систем шума на выходе приёмника

т. е. СПМ помехи на выходе приёмника в интегральных системах пропорционален квадрату частоты.

Все эти результаты справедливы для линейной модуляции или при произвольной модуляции для слабых помех, когда можно считать Они харастеризуют так называемые нормальные ошибки

Очевидно, мощность шума на выходе приёмника в полосе частот от нуля до будет

С другой стороны, мощность сообщения на выходе приёмника, равная можно выразить через пик-фактор сообщения Полагая, что сообщение нормировано и получаем

Тогда отношение мощностей сигнала и шума на выходе приёмника

а выражение для выигрыша и обобщённого выигрыша в соответствии с определениями (8.3) и (8.4) можно записать так:

Для гармонического сигнала а для телефонного сообщения

Используя теорему Шеннона (см. § 6.7), можно найти максимальные возможные значения выигрыша и обобщённого выигрыша при заданных параметрах системы связи. Рассмотрим этот вопрос для наиболее простого случая, когда непрерывное сообщение представляет гауссовский процесс с равномерным спектром в полосе частот (квазибелый шум), а в канале существует аддитивная помеха в виде квазибелого шума в полосе с односторонней спектральной плотностью Согласно теореме Шеннона передача сообщения с заданным значением возможна в случае, когда Здесь эпсилон-производительность источника, которая в данном случае согласно (§ 6.3.2) равна пропускная способность гауссовского канала, равная согласно (6.83)

где полоса пропускания канала и в общем случае

В гипотетической идеальной системе связи, в которой полностью используется пропускная способность канала и рвых

В реальных системах связи обычно удаётся лишь частично использовать пропускную способность канала. Назовем эффективностью системы связи отношение эпсилон-производительности источника к пропускной способности канала, при которой обеспечивается заданная верность, т.е. рвых Для такой реальной системы вместо (8.33) имеем

Из выражений (8.33) и (8.34) видно, что при можно обеспечить высокую верность (большое значение рвых) при относительно малых т.е. получить большой выигрыш

Таким образом, выигрыш достигается в результате обмена ширины спектра на динамический диапазон, о чём говорилось в § 1.2. Большой выигрыш можно получить только при большом отношении Заметим, что большой выигрыш может иметь место и при малой эффективности и наоборот. Следовательно, при оценке различных систем связи необходимо учитывать по крайней мере два показателя: эффективность и помехоустойчивость. Совокупность этих двух показателей составляет достаточно полную характеристику системы.

Наилучшей считается система, которая обеспечивает наибольшую помехоустойчивость при заданной эффективности либо наибольшую эффективность при заданной помехоустойчивости.

Для идеальной системы и из (8.33) следует

Отсюда при получаем

Таким образом, в идеальной системе выигрыш возрастает с увеличением а по экспоненциальному закону. Никакая реальная система не может обеспечить при заданном а более высокую помехоустойчивость, чем идеальная.