ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Вниманию советского читателя предлагается перевод книги Й. Барда «Нелинейное оценивание параметров». В ней отражено современное состояние теории и практики построения нелинейных моделей с привлечением методов математической статистики. Это, пожалуй, первое руководство такого рода в мировой литературе.

При математическом описании самых разнообразных объектов окружающею нас мира широко применяются модели типа «причина — следствие». Они отражают связь между входными (независимыми) и выходными (зависимыми) переменными. Наряду с такими переменными. модели подобного рода включают параметры, подлежащие определению из экспериментальных данных. Наиболее просты с точки зрения анализа и интерпретации такие модели типа «причина—следствие», в которых явно выраженная зависимость выходных переменных от входных линейна как по параметрам, так и по независимым переменным, т. е. имеет характер линейной формы от этих переменных. Принципы построения моделей такого типа детально разработаны и подробно описаны во многих руководствах Вместе с тем известно, что эти модели не позволяют описать многие сложные системы, нелинейные по своей природе. В подобных случаях нередко оказываются пригодными модели, которые линейны по параметрам, но нелинейны по независимым переменным. Благодаря сохранению условия линейности по параметрам при построении таких моделей удается почти без изменений применять аппарат, разработанный для моделей первого типа. Однако модели, в которых сохраняется линейность по параметрам, очень часто не удается согласовать с теоретическими представлениями об изучаемом объекте. Попытки их использования в виде аппроксимационных зависимостей нередко приводят к тому, что построенная модель содержит большое число параметров, громоздка и неудобна в обращении.

Выход из этого положения — отказ от принципа линейности по параметрам и переход к моделям более общего вида — нелинейным моделям как по независимым переменным, так и по параметрам. Их легче согласовать с теоретическими предпосылками. Они более гибки и даже при небольшом числе параметров зачастую позволяют достичь хорошего согласия экспериментальных и расчетных данных. Однако за такие достоинства приходится чем-то и «поступиться». При построении моделей такого рода оказываются уже непригодными обычные схемы обработки экспериментальных данных. Как правило, приходится применять специальные, итерационные, процедуры обработки данных.

Возникают проблемы неоднозначности при определении оценок параметров и их коррелированности. Появляются трудности при интерпретации моделей и т. д.

Монография Й. Барда адресована в первую очередь научным работникам, инженерам и всем тем, кто связан с математическим описанием разнообразных явлений, процессов и объектов.

Без сомнения, она будет полезна экономистам, занимающимся практическими вопросами планирования, заинтересованным в ознакомлении с современными методами статистического анализа, тем, кто на практике встречается с проблемами определения параметров экономикоматематических моделей на основе обработки статистических данных. Эта книга представляет интерес и как учебное пособие для студентов, аспирантов и преподавателей, углубляющих свои знания в области технической и экономической кибернетики.

Несомненным достоинством монографии являются живость и ясность изложения материала на уровне, доступном для специалистов, не имеющих специальной математической подготовки. Книга имеет четко выраженную практическую направленность. Это достигается прежде всего эвристическим подходом к изложению материала. Автор избегает доказательств теорем и проведения сложных выкладок. Главная цель — дать статистическое обоснование и трактовку рассматриваемых вопросов, научить читателя строить нелинейные модели по имеющимся данным. Этому в немалой степени способствуют многочисленные примеры решения частных задач, доведенных «до числа», рассмотренные в книге. Наряду с этим описываются алгоритмы решения задач на ЭВМ и даются ссылки на вычислительные программы.

Материал излагается в современной манере, с привлечением теории матриц. В помощь малоподготовленному читателю операции с матрицами расшифровываются на конкретных примерах, дается специальное приложение по матричному анализу. Помимо этого в виде приложений даются краткие сведения по теории вероятностей.

Монография состоит из десяти глав. Первые четыре главы носят вводный характер. В первой главе, представляющей собой по существу, развернутое введение, даются основные понятия теории статистического оценивания (модель, параметры модели, их оценки), указываются основные обозначения, употребляемые в работе. Во второй главе обсуждается круг вопросов, связанных с постановкой задачи нелинейного оценивания параметров. Приводится обстоятельная классификация моделей детерминированных и вероятностных. Обсуждаются формы записи различных моделей, экспериментальных данных и функций правдоподобия. Третья глава в основном посвящена рассмотрению статистических свойств оценок параметров нелинейных моделей. В четвертой главе излагаются методы оценивания параметров нелинейных моделей, такие, как метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия, байесовские процедуры оценивания параметров и др. Описываются меры рассогласования экспериментальных и расчетных данных, свойственные каждому методу оценивания.

В пятой и шестой главах освещаются вычислительные аспекты, связанные с определением оценок параметров в отсутствие и при наличии

ограничений. Детально описываются различные алгоритмы (градиентные методы, методы прямого поиска, метод штрафных функций, методы проектирования и др.). Однако в конечном счете читатель должен сам выбрать подходящий метод для решения своей задачи, поскольку ни один из описанных методов не может быть назван универсальным.

Интересный материал содержится в главе седьмой, где речь идет об интерпретации моделей. Здесь обсуждаются такие вопросы, как коррелированность оценок параметров, доверительное оценивание, проверка гипотез, анализ остатков, преобразование переменных модели.

В восьмой главе рассматривается важный класс динамических моделей, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. При отыскании параметров таких моделей в значительной мере используется общая схема определения параметров, развитая для нелинейных моделей. Вместе с тем надо заметить, что эта задача изложена слишком скупо.

Несколько обособленно выглядит материал девятой главы, посвященной рассмотрению частных вопросов. В ней говорится о «пропущенных» наблюдениях, неоднородностях, о последовательной переоценке моделей.

Заключительная, десятая, глава посвящена планированию эксперимента в задачах нелинейного оценивания. Обсуждаются критерии оптимальности планов, процедуры построения планов. Однако здесь не нашли отражения многие результаты, полученные в рамках современной теории планирования оптимальных экспериментов Кифера— Вольфовица-Федорова.

Список литературы, прилагаемый к книге, довольно представительный. Он насчитывает 195 наименований, но среди них почти отсутствуют работы советских авторов по данной проблеме. Заинтересованный читатель может восполнить этот пробел, обратившись к специальным библиографическим изданиям. Сводка таких изданий приведена, например, в статье: Адлер Ю. П., Грановский Ю. В. Методология и практика планирования эксперимента за 10 лет (обзор). — Заводская лаборатория, 1977, № 10.

Мы надеемся, что предлагаемая книга представит интерес и окажется полезной для советского читателя.

Доктор технических наук, профессор В. ГОРСКИЙ