В. БАЙЕСОВСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ

4.14. Определение

В обсуждавшихся выше методах оценивания мы нигде не использовали априорную информацию, которая в разделах рассматривалась как неотъемлемая часть проблемы. Как мы уже знаем, апостериорная записывается (см. согласно теореме Байеса в виде

где функция правдоподобия, а априорная ПРВ, в которой суммируется априорная информация. Оценки, которые используют априорную информацию, обычно базируются на апостериорном распределении и поэтому известны как байесовские оценки.

Если это ПРВ, то а с должно равняться где

Мы будем называть функцию собственным или несобственным апостериорным распределением в зависимости от того, существует интеграл или нет, соответственно. В последнем случае мы положим, что Следующие условия яьляются дстаточными, но никоим образом не необходимыми для существования интеграла

1) ограничена и нормальна;

2) и ограничены, а равна нулю всюду, за исключением ограниченной области пространства

Чтобы выбрать точечную оценку параметра найдем некоторые типичные характеристики, связанные с апостериорным распределением, такие, как среднее, медиана или мода. Эти величины будем называть параметрами расположения распределения, ибо они находятся в той области пространства где локализуется большая часть реализаций случайной переменной. Некоторые из этих параметров расположения существуют, даже если апостериорное распределение является несобственным, в то время как другие могут не существовать даже для собственных распределений. Среди тех параметров, которые существуют для данной задачи, выбор какого-либо из них в качестве точечной оценки произволен. В дальнейшем изложении мы опишем два различных подхода к такому выбору.

Итак, суммируем преимущества байесовского оценивания.

1. Получаемые оценки имеют физический смысл. Если, например, известно, что параметры положительны, то этот способ гарантирует, что их оценки действительно будут положительными.

2. Уравнения модели могут быть вырожденными относительно некоторых параметров. Например, модель падающей сферы (см. содержит только две независимые комбинации из пяти различных параметров. Небайесовские методы можно использовать для оценки не более двух параметров из этих пяти, а значения остальных трех должны быть точно известны. Если же есть, хотя и неточная, априорная информация по крайней мере о трех параметрах, то апостериорная плотность, являясь невырожденной функцией всех пяти параметров, может использоваться для оценивания их всех.