Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5.21. Однооткликовая задача наименьших квадратовПусть у — доля химического вещества А, оставшаяся к моменту времени
Переменная у удовлетворяет дифференциальному уравнению
где
Константа скорости
где
Данные пятнадцати измерений х и у приведены в табл. 5.2. Таблица 5.2 (см. скан) Данные для задачи наименьших квадратов Наша цель состоит в отыскании оценок
Следуя
Элементы матрицы Гессе выражаются приближенно в виде
Пусть в качестве начального приближения взято следующее.
В табл. 5.3 приведены значения
Таблица 5.3. (см. скан) Значения функций для задачи наименьших квадратов при Чтобы определить направление первого шага
Отсюда
2. Матрица С имеет вид
3. Преобразование для матрицы, обратной
Следовательно,
Отношение собственных чисел равно: составляло до 4. Чтобы рассчитать
Производная по направлению
Отрицательное значение этой величины означает, что
где
В точках
Используя Подставляя Последовательность итераций, рассчитанная по программе, блок-схема которой изображена на рис. 5.2, приведена в табл. 5.4. После шести итераций Таблица 5.4 (см. скан) Задача наименьших квадратов, хорошее начальное приближение (процедура Гаусса) В этой точке вектор-градиент имеет составляющие
а приближенная матрица Гессе имеет вид
Применяя тест из раздела 5.15, найдем, что
Эти значения пренебрежимо малы по сравнению с 0? и Таблица 5.5 (см. скан) Задача наименьших квадратов; остатки, полученные в конце итерациоиой процедуры В предыдущем примере мы достаточно удачно выбрали начальное приближение; с худшего начального приближения
При попытке рассчитать
при
Следовательно, из
Поскольку
что
Это значение
и
Снова необходима интерполяция:
На этот раз
Рис. 5.3. (см. скан) Задача наименьших квадратов Наконец, нами получена приемлемая точка. Положим этого следует, что метод Марквардта может оказаться эффективным в данном случае, и это действительно подтвердилось. Возвращаясь к первой итерации, сделаем первый шаг по процедуре Марквардта:
Полагая
Это все еще неприемлемо, поэтому увеличиваем до 10 и далее
что является приемлемой стартовой точкой для следующей итерации. Итерационный процесс, который сходится за 10 итераций, также изображен на рис. 5.3. Если начальные оценки параметров слишком велики,
или
где
Теперь наша модель линейна по параметрам
что соответствует
Эти оценки, очевидно, будут хорошими начальными приближениями Для оценивания 0 с помощью нелинейной процедуры наименьших квадратов.
|
1 |
Оглавление
|