4.10. Случай наличия ошибок в независимых переменных

Пусть наша модель задана в приведенной форме, но независимые переменные также подвержены ошибкам. Напомним, что в этом случае уравнения модели имеют вид

Теперь мы имеем остатки двух типов:

Объединим -мерный вектор и -мерный — -мерный вектор остатков:

Если предположить, что ем распределены нормально с нулевыми средними и одинаковыми ковариационными матрицами V, то функция правдоподобия выражается как

Если V известна полностью» минимизируемая функция выражается в виде

К сожалению, если о матрице V нет никакой информации, ее невозможно оценить методом максимума правдоподобия. Чтобы объяснить, почему это так, разобьем матрицу V на блоки следующим образом:

где

Положим, что где очень малое положительное число, и пусть т. е. . Тогда сводится к следующему:

Выбором достаточно малого можно сделать сколь угодно большим, благодаря члену Тогда функция правдоподобия не имеет максимума.

Эта трудность исчезает, когда V известна, скажем

где известная положительно-определенная матрица. Если вдобавок предположить, что ошибки х и у взаимно не коррелированы, сводится к

Легко проверить, что ОМП матрицы имеет вид

так что сосредоточенная функция цели, подлежащая минимизации, такова

Смещение оценки матрицы вычисляемой по может быть значительным, эта оценка даже не является состоятельной. Соответствующий коэффициент коррекции смещения выведен в разделе 7.14.

С вычислительной точки зрения часто разумно рассматривать задачи, приведенные в этом разделе, как задачи минимизации с ограничениями, т. е. не подставляется вместо у в выражение для

Переменные у принимаются за неизвестные, а рассматривается как система ограничений типа равенств. В этом виде задача пригодна к решению методом, изложенным в разделах