7.2. Методы интерпретации по виду поверхности отклика

Оценка обычно получается с помощью минимизации или максимизации некоторой функции Тогда есть «наилучшее» из возможных значений целевой функции Предположим на мгновение, что есть функция риска из теории статистических решений (см. раздел 4.16), т. е., что значение представляет собой экономические потери, которые нам предстоит выдержать, если мы исходим из предположения, что параметры имеют значение 0. В этом случае есть минимум возможных ожидаемых петерь. Однако если некоторые значения параметров приводят к росту риска до величины которая лишь незначительно больше, чем то у нас не будет никаких причин, вынуждающих предпочесть величину величине 0. В самом деле, пусть число это наибольшая разность между значениями риска, которую мы согласились считать незначительной. Тогда у нас нет причины предпочитать значение 0 любому другому значению 0, для которого

Мы будем называть множество значений 0, которые удовлетворяют неравенству областью -безразличия (неопределенности).

Аргументация, использованная здесь, эвристически может быть применена к любым другим целевым функциям. Тот факт, что нам предстоит минимизировать функцию означает, что мы делаем некоторый запас, получая наименьшее значение этой функции. Не так уж неразумно предположить, что значения функции почти столь же малые, как и значение будут нас удовлетворять почти так же, как и Это приводит к области безразличия в пространстве 0, как она была описана неравенством Выбор подходящего числа может быть более произвольным или более случайным, когда есть сумма квадратов, чем когда это экономический риск. Однако, если выбрано, анализ проводится одинаково во всех случаях.

Когда функция непрерывна, а точка ее единственного минимума во всем пространстве, область -безразличия при достаточно малом положительном есть односвязная область, окружающая точку 0 в -мерном пространстве 0. Эта область ограничена -мерной гиперповерхностью, уравнение которой

Мы. ограничимся рассмотрением областей этой природы; т. е. мы будем игнорировать ту возможность, что для даннсго могут существовать области, окружающие другие локальные минимумы, отличные для которых тоже выполняется неравенство

В достаточно малой окрестности точки 0 мы можем аппроксимировать функцию посредством нескольких первых членов ее

разложения в ряд Тейлора:

где а величины и есть соответственно вектор, градиент и матрица Гессе функции при Если 0 есть точка оптимума в пространстве без ограничений, то и равенство принимает вид

так что область безразличия определяется приближенно неравенством

Пусть если — точка минимума (матрица положительно определена), и если 0 — точка максимума ( отрицательно определена). В обоих случаях А положительно определена (полуопределена в исключительных случаях), а неравенство принимает вид

что является уравнением -мерного эллипсоида, объем которого равен Эллипсоида, соответствующие различным значениям являются концентрическими и подобны друг другу по виду и ориентации, так что безотносительно к фактическому значению можно получить довольно много информации, анализируя матрицу А.

Мы можем теперь ответить на вопрос, насколько сильно можно варьировать отдельный параметр относительно оптимального значения Если мы положим, что для всех то неравенство сведется к условию

так что

Это неравенство для краткости часто записывается как

Мы видим, что значение оказывается хорошо определенным, если величина мала по той шкале, в которой измеряется параметр ; параметр является плохо определенным, если число велико. Обычно мы хотим, чтобы эти параметры были хорошо определены. Однако такое бывает лишь как исключение; даже при самой большой гибкости применения техники планирования эксперимента определенный по плану параметр может быть плсхо определенным. Тем не менее бывает важно понять, когда плохая определенность есть свойство, присущее плану, а не просто результат недостаточного количества данных.

Недостаточно выяснить, насколько хорошо определенными являются отдельные параметры. Рассмотрим, например, двумерный случай, изображенный на рис. 7.1, когда

и Здесь неравенство сводится к виду

так что при мы имеем ( а при имеем

Рис. 7.1. Область неопределенности при для матрицы

Поэтому значения и можно по отдельности варьировать на величину все еще не выходя за область безразличия. Однако из рис. 7.1 ясно, что если мы будем увеличивать (или уменьшать) и одновременно, то значения параметров могут претерпевать значительно большие изменения. Действительно, значения удовлетворяют неравенству . С другой стороны, если значения меняются в перпендикулярном направлении, то пределы изменения снижаются до уровня Хотя как будто бы и и по отдельности являются хорошс определенными, разность оказывается даже лучше определенной, а сумма

оказалась относительно плохо определенной. Это значит, что мы располагаем большой свободой при выборе, скажем, значения до тех пор, пока значение согласуется с ним так, что разность приблизительно равна величине

Другие численные примеры приведены в разделе 7.21.