8.3. Модели, сводящиеся к стандартному виду

Наше определение стандартной динамической модели не настолько ограниченно, как может, наверное, показаться с первого взгляда. Многие задачи, не имеющие первоначально стандартного вида, могут быть переформулированы так, чтобы подогнать их к нашему определению. Мы покажем, как это можно сделать в отдельных случаях.

(а) Допустим, что модель соответствует нашему определению во всех отношениях за исключением того, что она содержит некоторые производные второго или более высокого порядка. Если мы можем так преобразовать дифференциальные уравнения, чтобы у нас были явные уравнения для производных высшего порядка по каждой переменной, то мы можем переформулировать модель в стандартном виде, применяя метод, иллюстрируемый следующим примером.

Пусть модель определяется с домощью следующих двух дифференциальных уравнений для переменных

Производные высшего порядка для каждой из переменных — это Относительно этих производных мы можем разрешить наши уравнения, получив систему:

Введем следующие переменные состояния системы:

после чего уравнения эквивалентны уравнениям

которые имеют желаемый вид (система Начальные условия для переменных и их производных незамедлительно преобразуются в. условия для переменных состояния.

Необязательно иметь возможность разрешать явно дифференциальные уравнения относительно производных высшего порядка. Достаточно иметь численный метод для вычисления этих производных, когда значения всех других величин, содержащихся в уравнениях, заданы.

Заметим, что большинство вычислительных программ для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений требуют, чтобы задача была сформулирована для системы уравнений первого порядка.

(б) Некоторые дифференциальные уравнения в частных производных, особенно параболического типа, можно аппроксимировать динамическими моделями. Для примера рассмотрим диффузионное уравнение или уравнение теплопроводности

где это константа, оператор Лапласа

и где число равное 1, 2 или 3, зависит от размерности тела, которое мы рассматриваем. Допустим, что мы выбрали решетку точек внутри тела, и пусть это значение функции и точке решетки. Кроме того, пусть это некоторая конечно-разностная аппроксимация для Например, в одномерном случае и если мы полагаем (аппроксимации лучшего типа рассматривались в [103]), то запись

имеет желаемый вид. Кроме того, это способ, с помощью которого задачи с параболическими уравнениями часто формулируются для ленного решения [170, гл. 7]. К сожалению, может потребоваться чрезмерное число переменных состояния.

(в) Большой круг задач, которые уже представлены в желаемой форме, возникает из теории управления процессами. Линейная теория Управления обычно имеет дело с моделями, в которых переменные состояния удовлетворяют дифференциальным уравнениям

где матрицы и известная функция (управляющий сигнал), а неизвестная функция (шум), обладающая

определенными статистическими свойствами. Наблюдаемые переменные, в свою очередь, задаются системой уравнений:

где — другая функция шума и С — матрица. Обобщение на нелинейные системы очевидно. Когда мы имеем динамическую систему, согласованную с нашим определением.

Обычно возникающие задачи — это задачи идентификации, в которых должны быть определены неизвестные элементы матриц и задачи сопровождения (tracking), при которых по измеренным значениям должна оцениваться функция Первая задача принадлежит непосредственно к классу задач оценивания параметров, которые мы здесь рассматриваем. Задача сопровождения есть, по существу, задача фильтрации, а методы ее решения, по большей части принадлежащие Калману 1118), широко обсуждались в литературе (за ясным описанием со многими дополнительными ссылками отсылаем к 1591, [180]). Здесь мы хотим только указать, что если в то начальные условия полностью определяют значения функций в каждый момент времени. Как только начальные условия и матрицы известны, функция может быть получена прямым интегрированием. Следовательно, задача сопровождения эквивалентна задаче оценивания неизвестных начальных условий и элементов матриц . А эта задача является частным случаем задач оценивания параметров, которыми мы собираемся заниматься.

Центральной задачей в теории управления является нахождение таких управляющих функций которые будут определять поведение переменных состояния желательным образом. Даже эта задача может иногда трактоваться в рамках задачи оценивания параметров. По практическим соображениям обычно приходится ограничиться функциями и которые зависят от конечного числа параметров (например, полиномами, коэффициенты которых должны быть определены, или кусочно-постоянными функциями). Тогда нам нужно определить оптимальные значения этих параметров, т. е. те значения, которые максимизируют некоторый показатель поведения системы. Тут есть полная аналогия с задачей оценивания параметров, в которой этот показатель поведения играет роль целевой функции. Общая проблема определения функции и также может быть сведена с помощью принципа максимума [1571 к двухточечной краевой задаче. Эта задача теперь может быть сформулирована как задача оценивания параметров, в которой отсутствующие начальные условия — это неизвестные параметры, а достигнутые конечные условия выступают как наблюдения. В этом виде задача может быть решена с помощью, скажем, метода Гаусса.