7.10. Доверительные области

Идея доверительного интервала может быть обобщена на случай нескольких неизвестных параметров. Допустим, что в нашем распоряжении имеется какая-то выборка данных чтобы определить некоторое ограниченное замкнутое подмножество -мерного пространства 0 таким образом, что множество содержит точку в процентах случаев из всех возможных случаев реализации таких выборок данных, т. е.

Тогда множество называется -ной совместной доверительной областью. При выборе доверительной области мы обладаем даже большей свободой, чем та, которую мы имели в случае доверительных интервалов, поскольку мы можем управлять не только местом расположения, но также и видом этой области. Наиболее общеупотребительными областями служат -мерные прямоугольники или эллипсоиды, центрами которых является оценка 0.

В разделе 7.8 мы ввели главные компоненты которые являются некоррелированными линейными комбинациями параметров. Если (как это было бы, если выборочное распределение оказалось нормальным) главные компоненты статистически независимы, то по доверительным интервалам для отдельных компонент можно

сформировать прямоугольную доверительную область. Пусть это у -ный доверительный интервал для компоненты Тогда

так что мы имеем -ную совместную доверительную область для вектора . К несчастью, трудно перефразировать равенство в простое утверждение относительно параметров .

Представляется разумным выбирать доверительные области, которые совпадали бы с областями безразличия для целевой функции, примененные нами для получения оценки 0. В разделе 7.2 мы уже видели, что приближенно они принимают вид

и в соответствии с соотношением в большинстве случаев это может быть приближенно представлено уравнением эллипсоида

Для заданной доверительной вероятности у нам требуется только определить число с таким образом, чтобы

Такое значением всегда существует безотносительно к правильности предположений, сделанных при оценивании . А вот фактическое определение значения с зависит от этих предположений и от вида выборочного распределения вообще.

Когда выборочное распределение — нормальное, несмещенное и с известной ковариационной матрицей то, как показано в разделе 2.8, величина распределена как с степенями свободы. Следовательно, константа с может быть определена как верхний -квантиль этого распределения. Для примера, пусть Тогда мы находим 151 табл. 31, что

Когда нельзя предположить, что выборочное распределение норма льно, мы можем обобщить неравенство Бьенэмэ-Чебышева (7.9-12) так, чтобы получить (при условии соотношение

Мы выведем это соотношение следующим образом. Пусть

и будет областью, в которой Пусть

Тогда для точек 0 вне области для точек 0 внутри Следовательно,

где это область, совпадающая совсем пространством, плотность выборочного распределения. Далее,

Следовательно,

Взяв получаем соотношение

Как и в одномерномч случае, для многомерных параметров применим метод Кенуя для уменьшения смещения.

Объем области, определенной в пространстве 0 неравенством равен: