Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 8.6. Некоторые трудности, связанные с динамическими системамиРешения дифференциальных уравнений ведут себя по-разному: одни — стабильны и сходятся к устойчивому состоянию, другие — нестабильны и уходят в бесконечность, третьи — осциллируют или сходятся к предельным циклам. Здесь нас интересует тот факт, что характер решений для данной системы уравнений может радикально меняться, когда меняются значения параметров. Например, решение уравнения В некоторых случаях мы можем обойти эту проблему довольно легко. Если из физических соображений известно, что система описываемая уравнением
где
гарантируют устойчивость, делая матрицу коэффициентов положительно определенной. К несчастью, в большинстве практических ситуаций такие условия оказываются громоздкими. Кроме того, если только уравнения не являются линейными с независящей от времени правой частью, то трудно сформулировать условия устойчивости, которые выполняются в каждый момент времени. У нас нет никаких оснований полагать, что решения должны быть локально устойчивыми в каждый момент времени, поскольку даже если в какой-то момент проявлялась неустойчивость, они могут в конце концов перейти в стационарную область. Вдобавок к нестабильным решениям, при которых переменные состояния системы быстро превышают допустимые границы, нам могут доставлять неприятности решения, слишком стабильные, т. е. при которых переменные состояния системы быстро достигают устойчивых значений, не зависящих по меньшей мере от некоторых параметров. Возьмем, например, систему
решением которой будет
где
Понятно, что мы потеряли всю информацию, относящуюся к параметрам В таком случае как будто ясно, что мы сможем наиболее удачно избежать как нестабильности, так и сверхстабильности, если мы будем отправляться от весьма малых значений всех неизвестных параметров, являющихся константами скоростей. Это делает наиболее вероятным получение решений с величиной, остающейся приемлемой на протяжении всех интервалов времени, для которых имеются наблюдения, и чувствительных к значениям параметров. Во многих случаях бывает выгодно наложить разумные ограничения на величину переменных состояния. Как только эти границы превышаются в ходе итерации, мы отбрасываем текущее значение в как недопустимое. Если у нас уже есть допустимое значение 0 из предыдущей итерации, то мы можем делать интерполяцию, т. е. вернуться к значению в, среднему между текущим и предыдущим значениями. Если необходимо, эта процедура может быть повторена несколько раз. Если нарушение ограничений имело место в ходе первой итерации, то простое уменьшение величины всех параметров последовательным делением пополам часто приводит к допустимым значениям. С другой стороны, мы можем временно назначить фиктивные, нулевые наблюдаемые значения переменных состояния для моментов Может возникать вырожденность различных типов, когда дифференциальные уравнения линейно зависимы. Например, в схеме химической реакции
Следовательно, при этих условиях будет создаваться впечатление, что величина у является функцией только от
|
1 |
Оглавление
|