8.6. Некоторые трудности, связанные с динамическими системами

Решения дифференциальных уравнений ведут себя по-разному: одни — стабильны и сходятся к устойчивому состоянию, другие — нестабильны и уходят в бесконечность, третьи — осциллируют или сходятся к предельным циклам. Здесь нас интересует тот факт, что характер решений для данной системы уравнений может радикально меняться, когда меняются значения параметров. Например, решение уравнения стабильно, когда значение 0 положительно или равно нулю, и неустойчиво, когда 0 отрицательно. По этой причине оно может оказаться для нас трудным при оценке параметров, если начальные значения или последующие итерации поведут к решениям ложного типа.

В некоторых случаях мы можем обойти эту проблему довольно легко. Если из физических соображений известно, что система описываемая уравнением должна быть стабильной, то все, что нам нужно сделать, — это наложить ограничение 0 0. Точно так же, если система описывается двумя уравнениями:

где известные функции, то ограничения

гарантируют устойчивость, делая матрицу коэффициентов положительно определенной. К несчастью, в большинстве практических ситуаций такие условия оказываются громоздкими. Кроме того, если только уравнения не являются линейными с независящей от времени правой частью, то трудно сформулировать условия устойчивости, которые выполняются в каждый момент времени. У нас нет никаких оснований полагать, что решения должны быть локально устойчивыми в каждый момент времени, поскольку даже если в какой-то момент проявлялась неустойчивость, они могут в конце концов перейти в стационарную область.

Вдобавок к нестабильным решениям, при которых переменные состояния системы быстро превышают допустимые границы, нам могут доставлять неприятности решения, слишком стабильные, т. е. при которых переменные состояния системы быстро достигают устойчивых значений, не зависящих по меньшей мере от некоторых параметров.

Возьмем, например, систему

решением которой будет

где Предположим, что качестве начальных приближений для мы приняли чрезмерно большие значения, так что можно уже пренебречь экспоненциальными членами для весьма малых значений при которых достижимы измерения переменных Тогда

Понятно, что мы потеряли всю информацию, относящуюся к параметрам по отдельности, и мы можем надеяться определить только их отношение Другими словами, значения будут соответствовать данным столь же хорошо (или столь же плохо), как и значения и процедура оценивания будет нечувствительна к изменению значений если только сохраняется их отношение.

В таком случае как будто ясно, что мы сможем наиболее удачно избежать как нестабильности, так и сверхстабильности, если мы будем отправляться от весьма малых значений всех неизвестных параметров, являющихся константами скоростей. Это делает наиболее вероятным получение решений с величиной, остающейся приемлемой на протяжении всех интервалов времени, для которых имеются наблюдения, и чувствительных к значениям параметров. Во многих случаях бывает

выгодно наложить разумные ограничения на величину переменных состояния. Как только эти границы превышаются в ходе итерации, мы отбрасываем текущее значение в как недопустимое. Если у нас уже есть допустимое значение 0 из предыдущей итерации, то мы можем делать интерполяцию, т. е. вернуться к значению в, среднему между текущим и предыдущим значениями. Если необходимо, эта процедура может быть повторена несколько раз. Если нарушение ограничений имело место в ходе первой итерации, то простое уменьшение величины всех параметров последовательным делением пополам часто приводит к допустимым значениям.

С другой стороны, мы можем временно назначить фиктивные, нулевые наблюдаемые значения переменных состояния для моментов равных значениям времени, при которых эти переменные превзошли свои границы, и игнорировать в этой итерации наблюдения, полученные для более поздних моментов Например, предположим, что в моменты наблюдаются значения и что это ограничение. Если мы интегрируем уравнения для текущих значений параметров 8 и находим, что при то мы поступаем так, как будто мы имели только наблюдения при , и к тому же мы добавляем «наблюдение» при Может оказаться полезным придание большого веса этому последнему наблюдению при образовании целевой функции.

Может возникать вырожденность различных типов, когда дифференциальные уравнения линейно зависимы. Например, в схеме химической реакции мы имеем следовательно, функция остается постоянной. Предположим, что все наши наблюдения были получены в опытах, где начальные условия всегда давали в сумме одно и то же значение у. Предположим, кроме того, что наблюдаемая переменная у есть линейная функция от и с неизвестными коэффициентами и 62. Таким образом,

Следовательно, при этих условиях будет создаваться впечатление, что величина у является функцией только от Любая попытка определить три коэффициента независимо будет обречена на неудачу, если только не делать новых наблюдений с разными значениями суммы . В разделе 8.8 обсуждаются дополнительные проблемы, связанные с линейной зависимостью систем.