7.3. Канонический вид
Мы хотим найти те точки на эллипсоиде 
которые наиболее удалены от центра, а также те, что наиболее близки к нему. Эти точки задают линейные комбинации параметров, определенные соответственно хуже или лучше всего.
Чтобы найти вектор 
, удовлетворяющий условию 
который максимизирует или минимизирует величину 
т. е. квадрат расстояния от начала, мы введем множитель Лагранжа 
и будем искать точки экстремума для функции
Следовательно
Подставляя 
и преобразуя это равенство, мы имеем
Умножим на это соотношение 
слева
Таким образом
Равенство 
констатирует, что искомый вектор 60 есть (ненормированный) собственный вектор матрицы А с собственным значением к. Равенство 
устанавливает, что длина этого вектора равна 
Эти I собственных векторов образуют I главных осей эллипсоида. Наибольшая ось, соответствующая наименьшему собственному значенцю, задает направление в пространстве 0, определенное хуже всего, а наименьшая ось (наибольшее собственное значение) задает направление, определенное лучше всего.
Пусть равенство
дает разложение по собственным значениям для матрицы А, где 
ортогональная матрица, столбцами которой служат нормированные собственные векторы матрицы 
диагональная матрица собственных значений. Тогда
Подставляя 
мы получаем:
Так как 
ортогональная матрица, преобразование координат, заданное равенством 
, есть жесткое вращение (возможно, с некоторыми отражениями), которое сохраняет расстояния и углы. Число 
является 
координатой вектора 
, представленного в системе координат, осями которой служат собственные векторы матрицы А. Равенство 
показывает, что главные оси эллипсоида совпадают с координатными осями в пространстве 
и делает очевидным обратное соотношение между длинами осей и квадратными корнями из собственных значений. 
Величины называются каноническими переменными, а сумма 
каноническим видом квадратичной формы 
В примере с двумерным пространством из предыдущего раздела у нас была 
матрица
нормированные собственные векторы которой равны: 
и 
с собственными числами 1 и 0,01. Следовательно,
и
Канонический вид 
Поэтому главные оси имеют длины 1 и 10, в силу чего линейные комбинации 0,7071 (60! 60а) и 
оказываются относительно хорошо и плохо определенными соответственно.
Следует заранее позаботиться о том, чтобы все параметры измерялись по сравнимым шкалам. Из рис. 7.1 очевидно, что, уменьшая или увеличивая чрезмерно шкалу одной из переменных, можно исказить эллипсоид, сведя его к точке, где уже не содержится никакой полезной информации.
