2.11. Стохастическая форма модели

Как можно модифицировать детерминистическую модель, чтобы она содержала в себе изменчивость данных и самой модели? Это можно сделать несколькими способами. Выбираемый способ должен зависеть от наших знаний об изучаемой системе. Уверены ли мы в правильности модели, но, может быть, не уверены в надежности данных? Или, наоборот, довернем данным, а не модели? Может быть, и то и другое подвержено большим ошибкам? Тип модели, подходящей для каждой данной ситуации, зависит от ответов на эти вопросы. Ниже мы приведем некоторые формы, которые может принимать модель. Типичный пример, иллюстрирующий условия, которым соответствует тот или иной вид модели, приведен в разделе 2.14.

(а) Пусть данные подвержены ошибкам измерения, а уравнения модели, по предположению, справедливы для истинных (хотя и неизвестных) значений переменных:

Назовем точной структурной моделью. Предполагается, что ошибки измерения имеют совместную ПРВ .

(б) Предполагается, что уравнения модели применимы лишь приближенно даже к истинным значениям переменных. Пусть ошибка в модели для эксперимента есть случайная переменная

Назовем уравнение неточной структурной моделью. В соответствии с принятыми обозначениями положим, что матрица, строка которой есть Предполагается, что объясняется наличием тех возмущений, которыми мы пренебрегли при выводе уравнений модели. Принято полагать, что имеют нулевые средние и статистически независимы от ошибок измерений. Тогда общая ПРВ применительно к такой модели имеет вид где дополнительный набор параметров распределения.

(в) Частный случай (б) имеет место, когда все переменные измеряются точно, так что исчезает. Тогда

Соответствующая ПРВ сокращается до Введем фиктивную переменную которой мы припишем «наблюденное» значение, равное нулю, и определим Тогда будет эквивалентно

выражению которое имеет тот же вид, что и приведенная модель рассматриваемая ниже.

(г) Было установлено, что в некоторых приложениях, особенно в области эконометрии, имеет смысл не вводить «истинного значения» явном виде, а рассматривать уравнения модели как приближенные относительно измеренных значений:

где ошибочный член, который не является случайной переменной сам по себе. Скорее полагают, что есть случайная переменная, распределенная так, что (рассматриваемая как функция имеет заданную Функция ПРВ для исходной переменной тогда получается по правилам нахождения плотностей распределений вероятностей для преобразованных переменных:

Величина есть якобиан преобразования а размерность должна совпадать с размерностью Экономисты называют эндогенными переменными.

Пример. Следующая модель некоторого производства, состоящая из двух уравнений, получена Бодкином и Клейном [28, уравнения (12) и (18);

где отношение выхода реальной продукции к затратам труда; отношение капиталовложений к затратам труда; их — временные затраты, а отношение размера заработной платы к цене выходной продукции. В этой задаче

Если распределены как , то имеет ПРВ

(д) Пусть размерности совпадают и, кроме того, структурные Уравнения можно разрешить относительно Тогда получаем приведенную модель . В р-м эксперименте могут иметь место ошибки двух типов: ошибки в измерении и ошибки в уравнениях модели. В соответствии с опытом работы с

приведенными моделями мы пишем у вместо вместе и. Теперь модель приобретает вид

где Если ввести то модель запишется как

Величина в принципе не может быть «истинным» значением если не пренебрежимо мало. Соответствующая ПРВ для модели имеет вид но на практике двойственная природа ошибок обычно игнорируется и ПРВ записывается просто как Совместная ПРВ для всех ошибок имеет вид

Назовем приведенную модель, в которой независимые переменные х измерены точно, стандартной приведенной моделью. Выражение для такой модели представлено или, что эквивалентно, Из всех типов нелинейных моделей это модель, для которой расчет оценок наиболее прост. По этой причине весьма заманчиво пренебрегать ошибками в в любой приведенной модели, независимо от того, оправдано ли это. Неточность оценок, вызванную ошибками в трудно предсказать; для этого будет уместно применение метода Монте-Карло (см. раздел 3.3). Так или иначе подавляющее большинство расчетов по определению нелинейных оценок на практике производится при неявном предположении, что модель представлена в стандартной приведенной форме.