7.14. Ошибки у независимых переменных
Даже состоятельность не имеет места, когда независимые переменные подвержены ошибкам, а, значит, число неизвестных параметров, по существу, пропорционально 
. Грубое объяснение причин смещения, которого следует ожидать даже тогда, когда число экспериментов очень велико, можно дать следующим образом.
Предположим, что мы имеем модель с 
уравнениями и с переменными, которые подвержены ошибкам. Пусть величины 
обозначают соответственно наблюденное, оцененное и истинное значения этих переменных. Мы предполагаем, что эти три значения не слишком далеки друг от друга. По определению, остатки — это разности
а ошибки равны
Поскольку ситуация рассматривается асимптотически, мы допускаем, что наши оценки 
безошибочны, т. е. 
. Оценки 
должны тогда минимизировать квадратичную форму
при условии, что 
Вводя обозначения
Мы имеем приближенно
Так как в 
то истинное значение тоже удовлетворяет условию 
приближенно выполняется равенство
Решая уравнение 
относительно 
и делая подстановку в равенство 
имеем
По своей природе величина 
как решение задачи минимизации с ограничением в виде равенства должна быть стационарной точкой функции Лагранжа
Дифференцируя по переменной 
получаем
откуда
так что равенство 
принимает вид
и
Теперь соотношения 
вместе определяют
и вспоминая, что 
мы получаем
Допуская снова, что матрица пропорциональна матрице V, например 
мы сведем равенство 
к следующему:
Вычисляя след матриц в обеих частях, получим
так что
Если 
т. е. на каждое уравнение приходится только одна переменная, измеренная с ошибкой, то 
Никакого смещения не существует асимптотически, и матрица будет состоятельной оценкой для 
Это соответствует ситуации, рассмотренной в разделе
7.13. Однако в задаче раздела 6.13 мы имеем одно уравнение с переменными 
каждая из которых измерялась с ошибкой. Здесь 
и мы ожидаем, что ковариационная матрица остатков будет равняться только одной трети истинной ковариационной матрицы ошибок измерения, независимо от того, сколько экспериментов выполнено.
Ясно, что если предположить все матрицы равными, то матрица
имеет тот же самый множитель смещения 
Если вдобавок мы сделаем поправку на смещение, обусловленное I параметрами 
мы придем к оценке
