распределена как
степенями свободы. Таким образом, мы можем определять доверительные области для оценки 0 при условии, что матрица V известна.
Из теории множественной линейной регрессии хорошо известно, что взвешенная остаточная сумма квадратов
не зависит от случайной величины
и распределена как
степенями свободы. Следовательно, величина
имеет
-распределение с I степенями свободы числителя и
знаменателя Пусть известно, что
где
известная матрица,
неизвестная константа. Тогда
Поэтому величину
можно вычислить, не зная значения константы
и для получения доверительных областей для параметра
можно пользоваться таблицами
-распределения (например, [174]).
Когда все наблюдения независимы, так что
возникает важный частный случай этого отношения:
который соответствует безвесовому методу наименьших квадратов. В случае однооткликовой задачи наименьших квадратов (иллюстрация в разделе 7.21) это отношение упрощается:
где величина
— это оценка для остаточной дисперсии.
В предыдущем обсуждении мы основывались на предположении, что уравнения модели были почти линейными по параметрам в окрестности оценки 0, по меньшей мере при вариациях параметров
на величину порядка стандартного отклонения оценок. Может случиться, что замена переменных будет усиливать законность предположения о линейности. Систематизированная процедура для осуществления такой замены переменных описана Хартли [99]. Процедуры для установления законности предположения о линейности списаны Билом [19], их применения иллюстрировали Гутман и Митер [95]. Простейший метод для проверки предположения о линейности состоит в следующем: определить доверительную область, основанную на этом предположении; вычислить фактические значения целевой функции в отобранных точках на границе области, например в конечных точках на осях основной системы координат. Если наше предположение законно, то
эти значения должны только незначительно отличаться от значений по аппроксимационному уравнению, т. е. от
В действительности это можно с пользой применять для определения размеров той области, в которой предположение о линейности законно, с помощью вычисления значений целевой функции на границах ряда последовательно увеличивающихся доверительных областей до тех пор, пока не проявится серьезное рассогласование между истинными и приближенными значениями. Знание этой области может быть полезным в некоторых приложениях, таких, как последовательное оценивание (см. раздел 9.3).