7.11. Линеаризация

Когда уравнения модели в окрестности оценки 0 можцо аппроксимировать линейными уравнениями, часто удается получить несколько более глубокие результаты, чем результаты последнего раздела. Единственное уравнение модели можно аппроксимировать выражением

Эта модель напоминает ситуацию (раздел 4.4) множественной линейной регрессии, если В будет обозначать матрицу размерами строка которой есть вектор будет обозначать -мерный вектор, элемент которого равен — а вектор будет заменять вектор 0 в уравнении . В соответствии с равенством вектор имеет ковариационную матрицу где V есть ковариационная матрица наблюдений (это соответствует равенству Если ошибки наблюдений нормально распределены, то нормально распределены и оценки 0, и, следовательно, как это утверждалось выше, величина

распределена как степенями свободы. Таким образом, мы можем определять доверительные области для оценки 0 при условии, что матрица V известна.

Из теории множественной линейной регрессии хорошо известно, что взвешенная остаточная сумма квадратов

не зависит от случайной величины и распределена как степенями свободы. Следовательно, величина имеет -распределение с I степенями свободы числителя и знаменателя Пусть известно, что где известная матрица, неизвестная константа. Тогда

Поэтому величину можно вычислить, не зная значения константы и для получения доверительных областей для параметра можно пользоваться таблицами -распределения (например, [174]).

Когда все наблюдения независимы, так что возникает важный частный случай этого отношения:

который соответствует безвесовому методу наименьших квадратов. В случае однооткликовой задачи наименьших квадратов (иллюстрация в разделе 7.21) это отношение упрощается:

где величина

— это оценка для остаточной дисперсии.

В предыдущем обсуждении мы основывались на предположении, что уравнения модели были почти линейными по параметрам в окрестности оценки 0, по меньшей мере при вариациях параметров на величину порядка стандартного отклонения оценок. Может случиться, что замена переменных будет усиливать законность предположения о линейности. Систематизированная процедура для осуществления такой замены переменных описана Хартли [99]. Процедуры для установления законности предположения о линейности списаны Билом [19], их применения иллюстрировали Гутман и Митер [95]. Простейший метод для проверки предположения о линейности состоит в следующем: определить доверительную область, основанную на этом предположении; вычислить фактические значения целевой функции в отобранных точках на границе области, например в конечных точках на осях основной системы координат. Если наше предположение законно, то

эти значения должны только незначительно отличаться от значений по аппроксимационному уравнению, т. е. от

В действительности это можно с пользой применять для определения размеров той области, в которой предположение о линейности законно, с помощью вычисления значений целевой функции на границах ряда последовательно увеличивающихся доверительных областей до тех пор, пока не проявится серьезное рассогласование между истинными и приближенными значениями. Знание этой области может быть полезным в некоторых приложениях, таких, как последовательное оценивание (см. раздел 9.3).