2.14. Пример

Приведенный здесь пример проясняет условия, которым соответствует тот или иной тип модели. Сфера радиуса и массы свободно падает в несжимаемой Ньютоновой жидкости вязкости Сила тяжести, действующая на сферу, равна где масса жидкости, вытесняемой сферой. В соответствии с законом Стокса торможение, препятствующее движению сферы (когда это движение медленное), равно , где это скорость падения сферы. Первый закон движения Ньютона приобретает вид

где ускорение. Это можно переписать так:

где

Предполагая, что первоначально сфера находится в покое, можно проинтегрировать и получить

Расстояние пройденное сферой с момента начала движения, равно:

его можно представить в виде «модели»

где

Пусть мы имеем измерения записанные в моменты времени отмеченные по часам. нужно оценить некоторые физические константы, содержащиеся в модели. С самого начала ясно, что уравнение модели содержит только два независимых параметра. Поэтому лишь две из физических констант фигурирующих в модели, можно оценить независимо. Так как вся информация, содержащаяся в относительно этих констант, получается из значений , положим, что эти параметры и подлежат оценка. Рассмотрим следующие случаи, в которых предполагается, что ошибки различных измерений статистически независимы. Параметры распределений ошибок обозначены через Уравнение модели точно; иными словами, любые систематические отклонения нее пренебрежимо малы по сравнению с ошибками измерений.

1. Измерения являются точными, а подвержены ошибкам с ПРВ в виде Уравнение в приведенной форме имеет вид

а функция правдоподобия,

2. и подвержены ошибкам измерения соответственно с . В данном случае мы имеем точную структурную модель

где — «истинные» значения измерении. Функция правдоподобия равна:

причем и удовлетворяют

Далее можно подставить из получив

без ограничений на

3. Значительные ошибки содержат лишь Если бы уравнение было разрешимо относительно то получилась бы стандартная приведенная модель. Поскольку это невозможно, мы снова воспользуемся точной структурной моделью, причем в заменяется на а из исключаются все и

(б) Модель, описываемая является неточной. Например, если сфера достаточно мала, сила торможения колеблется случайным образом из-за столкновения отдельных молекул. По этой причине броуновское движение накладывается на движение сферы под действием силы тяжести. Уравнение следует исправить следующим образом.

где случайная переменная, распределение которой можно вывести из законов статистической механики. При интегрировании уравнений следует учитывать возмущение, накладываемое на т. е. примет вид

где также случайная переменная. Пусть функция есть совместная ПРВ для Если измерения и достаточно точны по сравнению со стандартным отклонением то имеем следующую функцию правдоподобия:

Мы использовали здесь совместную ПРВ вместо произведения отдельных ПРВ, ибо предположение независимости наблюдений будет справедливо только в случае, когда каждое повторное измерение проводится в эксперименте, начинающемся из состояния покоя. В противном случае, если, например, возмущения до момента таковы, что будет больше предсказываемого по уравнению то, вероятно, останется слишком большим в последующие моменты времени. См. задачу 4 в разделе 8.9.