4.6. Уравнения правдоподобия

В этом и последующем разделах мы рассмотрим применение ОМП в различных случаях. Все последующее изложение будет в достаточной степени формализовано В большинстве приложений расчет оценок требует применения численных методов, которые будут описаны в последующих двух главах.

Во-первых, рассмотрим случай, когда отсутствуют какие-либо ограничения. Этот случай имеет место, когда модель выражается в приведенной форме, которая была описана нами в разделе 2.12. Тогда функция правдоподобия является функцией раздельно, как явствует, из

Мы знаем из раздела 3.5, что безусловный максимум (при отсутствии ограничений) функции должен удовлетворять системе уравнений правдоподобия

Так как из найдем, что если есть достаточная статистика для то эквивалентно следующему:

Следовательно, для вычисления оценки максимума правдоподобия достаточно знать значение достаточной статистики и поэтому можно отбросить исходные данные . К сожалению, существует весьма мало практических случаев, для которых можно найти достаточную статистику, когда модель объекта нелинейна.

К проблеме нахождения оценок можно подойти двумя путями:

(а) решая уравнения правдоподобия и потом выясняя, действительно ли найденное решение соответствует максимуму. Этот подход применим при аналитическом нахождении решения;

(б) пытаясь искать максимум функции правдоподобия непосредственно, не обращая внимания на уравнения правдоподобия. Этот подход более плодотворен, когда решение ищется численно (см. главу V). Однако даже в этом случае уравнения правдоподобия можно иногда использовать, чтобы исключить некоторые параметры, тем самым сократив размерность задачи, решаемой численными методами. Этот метод, известный как метод ступенчатой максимизации, особенно хорошо работает при исключении параметров распределенияф, а также и в некоторых случаях, приведенных в разделах 4.8 и 4.9.