7.18. Причины неудач

Если параметры оказались хорошо определенными, а остатки приемлемыми, то наша задача оценивания решена. Но толькс очень уж часто мы попадаем в одну из следующих менее благополучных ситуаций:

(а) Параметры хорошо определены, остатки большие, но приемлемые, поскольку известно, что ошибки измерения велики. Если исключить возможность уменьшения ошибки при измерениях, то мы можем улучшить наши оценки только путем проведения много большего числа экспериментов. Как правило, порядок уменьшения стандартного отклонения оценок грубо равен так что десятикратное улучшение оценок требует стократного увеличения числа экспериментов.

(б) Параметры (или некоторые их линейные комбинации) плохо определены, остатки малы. Это может быть обусловлено вырожденностью модели. Например, в модели

очевидно нельзя оценить параметры раздельно. Вырождение не всегда настолько очевидно. Рассмотрим для примера нашу модель падающей сферы Если выписать это уравнение полностью, мы находим, что расстояние пройденное сферой за время равно:

Потребуется некоторое исследование, чтобы выяснить, что среди параметров появляющихся в уравнении, только два могут быть оценены независимо. Еще более общим источником вырожденности могут быть данные сами по себе. Например, предположим, что для модели

мы сделали много наблюдений над величиной у при различных значениях но случайно в каждом эсперименте получалось так, что значение оказывалось почти равным При таких данных модель неотличима от модели

для которой нельзя оценить независимо параметры Только что рассмотренный случай кажется тривиальным, но подобные условия возникают во многих экспериментальных ситуациях, быть может, в более утонченной форме. Единственный выход — это планировать эксперимент надлежащим образом, как это указано в главе X.

(в) Параметры плохо определены и остатки неприемлемы. Модель должна быть отвергнута или по меньшей мере изменена так, чтобы включить те эффекты, которые наблюдались в остатках.

Одно из предположений, лежащих в основе модели, заключается в том, что неизвестные параметры — константы, которые не зависят от переменных модели. Естественно, возникает желание проверить эту гипотезу, и это может быть сделано, если данных достаточно много чтобы, например, проверить гипотезу о том, что параметр не зависит от некоторой переменной мы разобьем данные на подмножества, каждое из которых содержит единственное значение или значения лежащие в узком интервале. Оценим параметры отдельно по каждому подмножеству данных и применим обычные статистические методы проверки либо того, что оценки, полученные по подмножествам, значимо отличаются от оценок, полученных по полному множеству данных, либо того, что оценки по подмножествам проявляют некоторый тренд или другие функциональные соотношения с переменной Если такие соотношения существуют, то их можно использовать, чтобы видоизменить первоначальную модель. Такие методы были описаны Хантером и Мезаки [112] и Боксом и Хантером [35].

Не всегда возможно применить эти методы непосредственно. Например, пусть модель имеет вид

Нельзя оценить параметры и раздельно, если мы ограничимся данными с одним единственным значением Однако мы можем все же разбить всю область значений переменной на несколько достаточно широких интервалов для каждого интервала получить оценки раздельно.