4.16. Оценки минимального риска

Итак, нашей целью было найти такие значения в, которые были бы близки к истинным значениям с наибольшей вероятностью. В некоторых случаях, однако, значения оценок необходимы для каких-либо специальных целей, например для проектирования некой установки; тогда мы заинтересованы в нахождении значения 0, которое было бы наилучшим именно для этой цели. Во многих ситуациях понятие «наилучший» диктуется экономическими соображениями, а выбор лучшей оценки можно проводить методами теории статистических решений. В теории статистических решений определенна цена присваивается любым потерям, связанным с погрешностью в оценке. Иными словами, если мы используем значение параметра в то время как истинное значение его есть назначаемая при этом цена ошибки (штраф за ошибку, или функция потерь) есть с Поскольку неизвестен, истинную функцию потерь с вычислить невозможно. Однако, если мы положим, что параметр распределен в соответствии с апостериорным распределением, мы можем вычислить риск, который определяется как математическое ожидание функции потерь, связанной с присвоением значения параметру.

Оценку минимального риска (ОМР) определим как значение минимизирующее Здесь должна быть собственной ПРВ. Приведем простой пример.

Предположим, исследователь проводит эксперименты по определению прочности 0 некоторого материала на разрыв. Он собирается использовать этот материал для создания детали, размеры которой и, следовательно, стоимость были бы обратно пропорциональны 0. Пусть — используемая оценка 0. Тогда стоимость детали будет равна дол. (любая дополнительная фиксированная цена не имеет отношения к настоящему рассмотрению). Деталь не годится в случае, когда истинное значение 0 меньше, чем 0. Однако при этом исследователь должен заплатить штраф в размере К дол. Его общие потери выразятся в виде

Полагая, что апостериорная плотность заключает в себе всю доступную информацию о , получим выражение для риска, или для математического ожидания потерь:

Для нахождения оценки минимального риска продифференцируем предыдущую функцию по 0 и приравняем производную нулю:

Следовательно, оценка 0 должна удовлетворять уравнению

По существу, ОМР не является оценкой. Значение 0, удовлетворяющее нельзя считать истинным с наибольшей вероятностью; это лишь значение, которое при данной экономической ситуации обеспечивает наименьший риск.

Попытки применить методы теории статистических решений в чистых (т. е. свободных от экономики) задачах оценивания обычно начинаются с предположения о квадратическом виде функции потерь, которая имеет вид

где заданная положительно-определенная матрица весов. Это, по сути дела, определяет функцию потерь как взвешенную сумму квадратов ошибок оценок. Подстановка дает

и

Величина равна нулю, когда достигает минимума, следовательно (полагая невырожденной), имеем

Так как константа, уравнение сокращается до

Отсюда можно заключить, что ОМР для квадратичной функции потерь есть среднее (математическое ожидание) апостериорного распределения. Более точно можно записать так:

К счастью, оценка не зависит от матрицы весов Поэтому можно не заботиться о том, какие значения следует присвоить весам. Однако с ОМР связало довольно много практических недостатков,

(а) ОМР не существует, если плотность несобственного распределения. Рассмотрим случай., когда наша модель имеет вид

где — известная константа. Полагая, что распределены нормально со стандартным отклонением о, получим

Пусть все положительны. Если 0 неограниченно возрастает, то становится пропорциональной

Следовательно, если постоянна при всех значениях , интегралы в расходятся. Еще хуже, однако, то, что, если мы положим вне области интегралы в будут существовать, но их отношение будет стремиться к бесконечности вместе с А. Итак, оценка, вычисляемая по не робастна к малым изменениям Кроме того, выбираемое значение А произвольно, а оценка не должна существенно зависеть от этого выбора. Здесь источником затруднений является чувствительность ОМР к хвостам предполагаемого распределения.

(б) Если даже интегралы в существуют, их вычисление может быть неосуществимым. Если есть -мерный вектор, необходимо вычислить интегралов: один в знаменателе и по одному для каждой компоненты вектора в числителе. Каждое интегрирование должно проводиться по -мерному пространству, причем отдельные компоненты могут иметь пределы изменения от до Не существует каких-либо доступных методов вычисления подобных интегралов (исключая случай Кроме того, любой разумный подход к этой задаче требует на первом шаге нахождения положения моды апостериорного распределения. Следовательно, вычисление оценки МАР должно предшествовать расчету ОМР.

(в) ОМР не инвариантна к репараметризации, в то время как оценка МАР инвариантна.

(г) ОМР, вообще говоря, не сходится к ОМП при стремлении к равномерному распределению.

В заключение отметим, что ОМР можно рекомендовать лишь в задачах экономического характера. Для дальнейшего знакомства с оценками минимального риска при функциях потерь, имеющих вид, отличный от квадратического, отошлем читателя к [59, гл. 2 и 3] и [163, гл. 6].