2.5. Области применения

Из или не следует, что должны быть известны явные аналитические выражения для функций Единственное, что требуется, — это чтобы по некоторым заданным значениям аргументов и в или х и в) можно было бы вычислить значения функций. Это может привести либо к решению системы дифференциальных уравнений, либо к трудоемкому моделированию системы. В случае, когда структурные уравнения неразрешимы явно, мы все же можем получить предсказанные значения зависимых переменных, решая уравнения численно.

Приведем пример модели, требующей решения дифференциального уравнения, взятый из области кинетики химических реакций. Рассмотрим химическую реакцию, в которой молекулы некоторого вещества А спонтанно разлагаются на молекулы веществ . В химических обозначениях реакцию следует записать так:

Закон действия масс гласит, что скорость разложения в любой момент времени пропорциональна концентрации вещества А в этот момент, что приводит к дифференциальному уравнению

где — концентрация вещества А в момент времени так называемая константа скорости реакции. Уравнение можно проинтегрировать явно, получив

где концентрация А в нулевой момент времени. Это приведенное уравнение, где зависимая переменная, независимые переменные, параметр. Несмотря на то что в данном случае дифференциальное уравнение разрешилось явно, нередко встречаются модели, для которых интегрирование уравнений можно осуществлять лишь численно. Подобные модели детально разбираются в главе VIII.

Мы не можем показать в пределах этой книги, как выводятся уравнения математических моделей в различных областях науки, но можем сослаться на несколько примеров, чтобы показать, что применение методов оценки параметров не ограничивается лишь областью химической кинетики.

(а) Ядерная физика. Данные рассеяния использовались для оценки параметров модели, описывающей ядерную структуру или межъядерные силы (см. [144] и 191).

(б) Геофизические исследования. Геофизические съемки часто проводятся путем облета исследуемого района и записи измеренных значений таких переменных, как интенсивности магнитного и гравиметрического полей. Эти записи затем подробно просматриваются для обнаружения аномалий, которые могут указывать на присутствие полезных ископаемых. Полагая, что залежи руды имеют определенные очертания, размеры и местоположение, можно вывести уравнения магнитного и гравиметрического полей вдоль траекторий полета (см. [92]). Несмотря на большую сложность этих выражений, ими можно пользоваться для оценки параметров месторождения руды по данным аэрофотосъемки [66].

(в) Биофизика. Для изучения способа, с помощью которого вещества передаются из одной части организма в другую, биологи представляют тело в виде клеток, разделенных полупроницаемыми мембранами. Специальное вещество — трассёр впрыскивается в одну из этих клеток, а его концентрация в других клетках последовательно измеряется во времени. Эти данные применяются для оценки параметров массопередачи между клетками [26], [185], [21].

Другим интересным приложением является определение дипольных моментов различных частей сердца по измерениям скин-потенциала [23].

(г) Теория вероятностей. По ряду выборок случайной переменной, имеющей заданное распределение вероятностей, мы хотим определить парамехры распределения (например, среднее стандартное отклонение и т.д.). Это — классическая задача оценивания в статистике. Подход к ней с точки зрения «подгонки кривых» заключается в построении гистограммы по данным и подгонке к ней выражения для функции плотности вероятности.

(д) Эконометрия. Экономисты пытаются построить математические модели национальной экономики или некоторых ее частей. Эти модели описывают динамические соотношения между такими переменными, как годовой доход, товарооборот, объем производства и уровень занятости. Параметры моделей можно оценить из прошлых данных и использовать для предсказания будущих тенденций [117].

(е) Расчеты орбит. Уравнение орбиты спутника может содержать параметры, которые характеризуют притяжение спутника небесными светилами. Эти параметры можно оценить из измерений орбит [119].

Все это примеры, в которых параметры, подлежащие определению, имеют (в большей или меньшей степени) физический смысл, а уравнения моделей являются некоторой попыткой представления истинного процесса и реальных соотношений. Последующие примеры будут другого типа. Мы будем пытаться определять такие параметры конструкции, которые бы обеспечили желаемые свойства разрабатываемого прибора.

(ж) В электрической цепи нужно установить сглаживающий фильтр. Рассчитываем идеальную передаточную функцию фильтра, решая уравнение Винера-Хопфа [188]. Фильтр должен быть сконструирован из пассивных элементов (резисторов, конденсаторов и индукторов) так, чтобы его передаточная функция была рациональной, т. е. являлась бы

отношением двух полиномов. Наша задача — определить коэффициенты обоих полиномов так, чтобы их отношение приближало решение уравнения Винера — Хопфа как можно точнее.

(з) Разработчики искусственных конечностей обычно пытаются воспроизвести наблюдаемую кинематику естественных конечностей. Они должны оценивать конструктивные параметры так, чтобы наилучшим образом аппроксимировать наблюдаемые перемещения [83].