Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
A.3. Элементарные кручения и выметанияМногие преобразования при вычислениях, связанных с матрицами, можно рассматривать как последовательность операций, называемых кручениями. Полезно будет изучить операцию кручения детально и дать перечень некоторых ее применений. В дальнейшем всегда будем предполагать, что вначале мы имеем некоторую заданную матрицу В, которая постепенно видоизменяется с помощью последовательности кручений. Если только не оговаривалось противоположное, всегда, когда мы будем говорить о матрице В или о любых ее элементах, мы будем подразумевать текущие, а не исходные значения. Определение. Допустим, что элемент 1. Заменить элемент 2. Заменить элемент 3. Заменить элемент 4. Заменить элемент Элемент 1) операция кручения реверсивная, т. е. повторное кручение с одним и тем же опорным элементом 2) кручения с независимыми опорными элементами коммутативны, т. е. операции кручения сначала на элементе 3) из свойств 1 и 2 мы выводим, что последовательность кручений на элементах Следующие примеры применений послужат мотивировкой к определению кручения. (а) Перестановка ролей переменных. Допустим, что матрица В размерами
Элементы векторов х и у можно рассматривать как соответственно независимые и зависимые переменные. Допустим, что мы хотим поменять ролями, скажем,
Если
Решая его относительно
Рассмотрим следующую таблицу, схематически представляющую уравнение
Тогда, после обмена местами
Очевидно, что элементы матрицы В подверглись тому преобразованию, которое обеспечивается кручением на опорном элементе Частичное исключение неизвестных. Нам может понадобиться перестановка не только для одной пары переменных, а сразу для нескольких. Пусть система уравнений
Соответствующая таблица имеет вид:
Пусть
Предположим, что возможны перестановки по очереди: с
Это свойство используется в методе проекций (разделы 6.2 и 6.3). Можно показать, что если матрица (в) Обращение матрицы. Когда подматрица
нельзя подвергнуть выметанию, хотя она и не вырождена. Однако мы всегда можем поступить следующим образом: 1) заполнить таблицу 2) среди всех элементов, для которых строки имеют заголовки у и а столбцы — 3) если 4) выполнить кручение на элементе 5) переставить строки так, чтобы их заголовки стояли в естественном порядке 6) переставить столбцы так, чтобы их заголовки стояли в естественном порядке: (г) Системы линейных уравнений. Мы хотим решить относительно
где матрица А имеет порядок Если матрица А вырождена, то процесс прерывается в пункте 3 в тот момент, когда все возможные опорные элементы оказываются равными нулю. Разобьем векторы х и у на части
Матрица
Тогда согласно табл.
Далее, если мы будем исключать
которые ввиду
Из этого мы выводим следующее: 1) если 2) если Ранг матрицы и линейная независимость векторов. Пусть
Таким образом, матрицы
образуют максимальное подмножество линейно-независимых столбцов матрицы А. Когда ранг матрицы А равен числу строк, матрицы Определитель. Чтобы вычислить определитель матрицы В, мы последуем процедуре (в); пункт 6 можно опустить. Если процесс не может быть завершен, то определитель равен произведению всех опорных элементов, умноженному на (ж) Шаговая линейная регрессия. Мы хотим найти
Образуем матрицу размерами
Допустим, что" мы подвергли матрицу А выметанию по некоторым из первых I строк этой матрицы и получили в результате модифицированную матрицу А (всякий раз, когда мы говорим о матрице А, подразумевается ее вид в данный момент). Пусть символ I обозначает множество индексов строк, по которым выполнялись выметания, а символ
равна тому уменьшению в значении функции 1) выбрать малое положительное число 2) построить матрицу А. Пусть 3) среди элементов 4) возвращаться к пункту 3 до тех пор, пока не окажется, что никакая величина
При шаговой регрессии с убывающим числом членов мы строим сначала матрицу
где 3) среди элементов а
|
1 |
Оглавление
|