7.19. Предсказание по модели
Быть может, наиболее важная цель математического моделирования физических состояний в предсказании будущих значений отклика для заданных условий. Процедуры оценивания дают значения параметров, представляющих интерес для уравнений предсказания. Не является обязательным ни то, чтобы эти уравнения были теми же самыми, что и уравнения модели, используемые для оценивания, ни то, чтобы переменные, которые нужно предсказывать, совпадали с зависимыми переменными из уравнений модели. Например, мы наблюдаем время, требующееся для того, чтобы жидкость прошла через капиллярную трубку с целью оценить вязкость. Мы пользуемся коэффициентом вязкости, чтобы предсказать коэффициенты затухания для стоячих волн в резервуаре. В любом таком случае мы говорим, что желательно предсказать значение некоторого вектора опираясь на значения вектора независимых переменных 
и вектора параметров 
. Предсказание делается на основе модели
где индекс 
ставится для предсказанного значения.
Если допустить, что модель сама по себе правильна, то существуют три возможных источника неточности в предсказаниях: ошибки в оценках параметров 
ошибки установки значений 
, ошибки в измерениях вектора 
Все три источника вносят свой вклад в разность между предсказанным и фактически наблюденным значением 
Обычно (за исключением чисто линейных моделей) будет существовать некоторое смещение в предсказанном значении 
но о нем мы мало что можем сказать. Допуская, однако, что это смещение мало по сравнению с другими составляющими ошибками и что ошибки, порожденные всеми тремя источниками, статистически независимы, мы можем получить приближенное значение для ковариационной матрицы ошибок предсказания.
Обозначим эти три вида ошибок соответственно 
Наблюдаемое значение вектора 
будет определяться формулой
Разложение в ряд Тейлора при ограничении только линейными членами приводит к равенству
Ковариационная матрица ошибок предсказания дается выражением
где 
и есть соответственно ковариационные матрицы для векторов 
Первый член в правой части равенства 
может быть опущен, если значение 
можно установить точно (или оно известно). Матрица 
получается в процессе оценивания параметров, как показано в разделе 7.5. Если вектор 
совпадает с вектором у в уравнениях модели, то матрица 
оценивается (если она заранее неизвестна) по остаткам, как это делалось в разделе 7,13.
