Приложение Г. ПОЛУЧЕНИЕ ВЫБОРКИ ИЗ ЗАДАННОГО МНОГОМЕРНОГО НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Мы хотим получить на вычислительной машине выборку из распределения т. е. нам нужен вектор z чисел соответствующих нормальному распределению со средним а и ковариационной матрицей Тогда мы действуем следующим образом.

(а) Пусть если число четное, или если нечетное.

(б) Получаем псевдослучайных чисел независимых и равномерно распределенных на интервале от нуля до единицы. За разъяснениями по поводу методов их получения отсылаем к и [136].

(в) Из чисел мы получаем числа независимые и нормально распределенные, с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Для такого преобразования было предложено много методов, но только два нижеследующих легко программируются и, будучи достаточно быстрыми, все еще обеспечивают точно требуемое распределение.

1. Метод Бокса и Мюллера [37]. Вычислить

Если число нечетное, то значение вычислять не нужно.

2. Метод Марсальи и Брэя [141]. Вычислить числа для Если для какого-нибудь окажется, что заменить числа на новую пару равномерно распределенных случайных чисел, вычислить снова числа и повторять это до тех пор, пока не будет выполняться неравенство Вычислить:

Этот второй метод, вероятно, более быстрый, поскольку он не требует вычисления значений тригонометрических функций.

(г) Вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы Образовать матрицу столбцом которой является вектор

Заметим, что все числа должны быть неотрицательными. Более быстрый метод, полезный, когда известно, что матрица V невырождена, состоит в том, чтобы найти с помощью разложения Холецкого (см. раздел 5.5) треугольную матрицу II с ненулевыми элементами ниже диагонали и такую, что .

(д) Для получения желаемой выборки вычислить

Если требуется много выборок из одного и того же распределения, то пункт (г) нужно выполнить один раз с самого начала для всех выборок.