9.7. Другая задача с пропущенными данными

Галамбос и Корнелл [84] получили данные о наблюдаемом относительном содержании и радиоактивного трасера (меченых 1 атомов) в двух частях (отделах) человеческого тела в моменты времени после инъекции. Эти данные представлены в табл. 9.2. Значение пропущено. Уравнения модели следующие:

Таблица 9.2 (см. скан) Данные задачи о радиоактивном трасере

Бошам и Корнелл [21] использовали следующий метод для оценки параметров

Сначала по методу наименьших квадратов была получена оценка в на основе только данных что дало

Этой оценке соответствовали: минимум суммы квадратов дисперсия и стандартное отклонение Та же самая процедура была применена только к данным и получилось

причем остатки имели дисперсию: и стандартное отклонение Остатки каждого уравнения близки к ошибке округления данных. Однако эти две оценки параметров слишком далеко расходятся (если мерить в шкале их стандартных отклонений), что ставит под сомнение гипотезу о применимости одних и тех же параметров к обоим уравнениям.

Тем не менее вернемся снова к совместной аппроксимации обоими уравнениями. Бошам и Корнелл вычислили остатки от двух раздельных аппроксимаций и построили их ковариационную матрицу (пренебрегая [первым наблюдением над без компенсации по числу степеней свободы. Они считают, что эта матрица такова:

Затем они используют обратную к ней матрицу как весовую при определении целевой функции

Минимум достигается в точке

Перейдем теперь к вычислению оценки по методу, примененному в предыдущем разделе. Обозначим пропущенное значение и допустим, что матрица V неизвестна. Тогда наша целевая функция равна:

где

а все другие остатки определяются как обычно. Используя начальное приближение Бошампа и Корнелла (с добавлением начального значения для параметра полагаем

Метод Гаусса (с ограничениями на неотрицательные значения параметров и применением штрафных функций) сходится к оценке

Этот результат неприемлем, поскольку получается, что , но никакое значение у не может превосходить единицу. В действительности, мы должны иметь неравенство » следовательно, поскольку , мы налагаем добавочное ограничение При этом получается результат

Отметим, что это — внутренний минимум меньше своего граничного значения). Курьезно, но целевая функция достигает в точке меньшего значения, чем в точке указывая тем самым, что последняя точка — это всего лишь локальный минимум и что точка настоящая оценка, правильная даже при отсутствии ограничения на

Наша оценка довольно хорошо определена и значимо отличается от оценки Бошампа и Корнелла. Это можно объяснить тем, что оценка ковариационной матрицы остатков, соответствующих оценке параметров

очень отличается от матрицы и намного превосходит ее поэлементно. Другими словами, комбинированная аппроксимация, достижимая для обоих уравнений, намного хуже, чем аппроксимация, получаемая для каждого уравнения в отдельности. Остатки, найденные при аппроксимации отдельными уравнениями, служат очень плохой мерой для ошибок при одновременной аппроксимации. Если же остатки при согласованной аппроксимации, которые имеют стандартные отклонения считаются все же не большими, чем ошибка эксперимента, то у нас нет никаких причин, вынуждающих отвергнуть согласованную модель, даже если раздельно полученные модели дают намного лучшую аппроксимацию.