10.8. Соображения вычислительного характера

Задача в том, чтобы найти максимум критерия планирования, ко торый является сложной нелинейной функцией от экспериментальных условий х. Эта функция часто настолько сложна, что вопрос об аналитическом вычислении ее производных и не ставится, Дополнительные факторы, которые вносят свой вклад в усложнение задачи, сводятся к следующему:

1) точки максимума обычно локализуются на границе допустимой области;

2) обычно существует несколько локальных максимумов. В тех случаях, когда это изучалось подробно, число локальных максимумов оказывалось близким к числу неизвестных параметров в модели.

Как указывалось в главе V, максимизировать нелинейную функцию проще всего тогда, когда можно вычислять производные, не применяются никакие ограничения и существует единственный локальный максимум. По всем этим показателям наша задача трудная. Более того, если мы хотим получать в каждом эксперименте наибольшую информацию, то нам нужно повторять процедуру максимизации перед

дополнением каждого эксперимента. К счастью, есть некоторые смягчающие обстоятельства:

1) не требуется определять положение максимума с большой точностью;

2) положение локальных максимумов меняется от одного эксперимента к другому вроде бы не очень сильно. Что действительно меняется — это относительные значения различных максимумов, так что условия, выбранные для последовательности экспериментов, циклически колеблются между отдельными локальными максимумами.

Действительно, Бокс [40] показал, что если для оценивания параметров назначается (без последовательного планирования) совокупность из экспериментов, то оптимальный или близкий к оптимальному план обычно получается, если каждый эксперимент из совокупности I наилучших экспериментов повторяется раз (с наибольшей возможной точностью приближения целыми числами).

Поэтому нам надо искать локальные максимумы во всей допустимой области, наверное, только первое время, т. е. после того как были выполнены затравочные эксперименты. А затем, когда поступают результаты каждого нового эксперимента, нам нужно ограничить поиски только окрестностью каждого уже установленного локального максимума, так чтобы локализовать их положение в данный момент (которое может слегка сдвигаться после каждого эксперимента).

Самый надежный способ провести полное начальное обследование локальных максимумов — это вычислить значение критерия планирования во всех точках на частой сетке в пределах допустимой области, Те точки этой сетки, в которых значение критерия планирования больше его значений во всех соседних точках, отбираются и рассматриваются как примерные точки локальных максимумов. Дальнейшего уточнения можно затем достигнуть, отправляясь из этих точек и применяя методы поиска экстремума (например, методы прямого поиска см. в разделе 5.19). Достаточно частая начальная сетка делает этот шаг излишним.

Метод сеток приемлем только тогда, когда число независимых экспериментальных условий мало. При трех переменных десятиуровневая сетка по каждой размерности приводит в результате к тысяче точек, что еще не чрезмерпо, если уравнения модели просты. При размерности, равной четырем и выше, метод сеток уже, вероятно, практически неприемлем. В этом случае мы предлагаем следующую процедуру:

1) выбрать наудачу допустимую точку;

2) отправляясь из этой точки, применять оптимизацию методом прямого поиска до тех пор, пока не будет достигнут локальный максимум;

3) повторять пункты 1 и 2 до тех пор, пока не будет получено по меньшей мере равно максимальному числу параметров в любой

(кликните для просмотра скана)

из рассматриваемых моделей) различных локальных максимумов или до тех пор, пока определенное число попыток обнаружитьновый локальный максимум не потерпит неудачу.

Пусть это точки известных локальных максимумов, после того как было проведено экспериментов. Эксперимент с номером проводится, конечно, в точке самого высокого локального максимума, т. е. в точке где значение критерия планирования наибольшее. После того как этот эксперимент выполнен, мы определяем новые значения применяя метод прямого поиска и отправляясь от каждой старой точки Отнюдь не редко случается, что некоторые из новых точек сливаются со старыми, т. е. попытки, начинающиеся с некоторых старых точек могут приводить к тем же самым новым (в пределах некоторого допустимого отклонения ). Чтобы избежать возможности пропустить некоторые максимумы, можно также после каждого эксперимента включать в поиск добавочные случайные стартовые точки.

Рис. 10.4 содержит диаграмму, или логическую схему процедуры, в рамках которой предлагается действовать. Диаграмма разбивается на две части, связанные соответственно с функциями вычислительной машины (оценивание, планирование) и функциями лаборатории (исполнение уточненных экспериментов). Это ставит вопрос о том, как осуществить каналы связи менаду вычислительной машиной и лабораторным оборудованием. Ответ зависит от обстоятельств: если эксперименты занимают очень короткое время и имеется подходящее оборудование, то вычислительная машина может быть подсоединена к аппаратуре непосредственно, для работы в оперативном режиме. В противном случае требуется ручная передача данных. Заметим, что описанные здесь функции вычислительной машины совершенно отличаются от существующего в настоящее время оперативного управления экспериментами, когда решается вопрос не о том, какие эксперименты выполнить, а о том, как обеспечить, чтобы заданные эксперименты выполнялись правильно. Конечно, оперативное планирование не может быть выполнено, если функции контроля и управления не будут тоже осуществляться, но последнее лежит за пределами содержания этой книги.