Допустим, что точка 0 является нестационарной. Тогда
В силу непрерывности функций
и по определению предельной точки мы можем найти такое целое число
что
и
Для рассматриваемой функции
мы имеем соотношение
и неравенство
которое следует из формулы
и неравенства
Аналогично получаем неравенство
которое следует из формул
Для
в силу неравенств (Е.8) и
мы имеец.
При
должно быть
Поэтому согласно неравенству
или
Для
в силу неравенства
мы имеем
Предположим, что число
было выбрано так, что выполняются соотношения
(см. условие
. Так как функция
является монотонно невозрастающей на отрезке
то в силу неравенства
мы имеем
Используя соотношение
мы находим, что должно выполняться неравенство
Это противоречит условию
Другая альтернатива заключается в том, что выполняются неравенства
Но тогда
Теперь существуют две возможности:
(а)
. Поэтому должно выполняться неравенство
что противоречит условию
(б)
. Поэтому и так как функция
является в точке
монотонно невозрастающей, должно выполняться неравенство
и мы снова получаем противоречие с условием
Следовательно, точка 0 должна быть стационарной.