Допустим, что точка 0 является нестационарной. Тогда 
В силу непрерывности функций 
и по определению предельной точки мы можем найти такое целое число 
что
и
Для рассматриваемой функции
мы имеем соотношение
и неравенство
которое следует из формулы 
и неравенства 
Аналогично получаем неравенство
которое следует из формул 
Для 
в силу неравенств (Е.8) и 
мы имеец.
При 
должно быть 
Поэтому согласно неравенству 
или 
Для 
в силу неравенства 
мы имеем
Предположим, что число 
было выбрано так, что выполняются соотношения 
(см. условие 
. Так как функция 
является монотонно невозрастающей на отрезке 
то в силу неравенства 
мы имеем
Используя соотношение 
мы находим, что должно выполняться неравенство
Это противоречит условию 
Другая альтернатива заключается в том, что выполняются неравенства 
Но тогда
Теперь существуют две возможности:
(а) 
. Поэтому должно выполняться неравенство
что противоречит условию 
(б) 
. Поэтому и так как функция 
является в точке 
монотонно невозрастающей, должно выполняться неравенство
и мы снова получаем противоречие с условием 
Следовательно, точка 0 должна быть стационарной.
заданная непрерывная функция с непрерывными дифференцируемыми производными первого порядка. Пусть 
и пусть 3) — множество таких точек 0, что 
Определим последовательность точек 
с помощью равенства
что ни одно собственное значение матрицы Гессе 
не превосходит 
по абсолютной величине для всех 
являются положительно-определенными, собственные значения которых попадают в интервал между двумя положительными числами 
выбраны так, что выполняются неравенства
это положительная константа; а — тоже константа, удовлетворяющая условию 
это наименьшее неотрицательное число 
при котором точка 
функции 
является стационарной.
— предельная точка последовательности 
Тогда 0 будет стационарной точкой функции 
т. е.
будет монотонно невозрастающей. В силу непрерывности мы должны иметь неравенство
